Eme érintési föladat határozatlan, azaz végtelen sok oly kör van, melyek az adottakat érintik. Mindeme körök középpontjainak elhelyezkedésénél kell, hogy bizonyos szabályszerűség létezzék. Keressük e középpontok mértani helyét.
Lássuk mindenekelőtt, hogy hányféle mértani helyről lehet általában itt szó? Ezek száma az adott körök egymáshoz való helyzetétől függ. De két kör kölcsönös helyzete lehet olyan, hogy azok egymást átmetszik, egymást nem metszik és egymást érintik; az egymást nem metsző körök egyike lehet a másikán kívül vagy belül; az érintés is kétféleképpen lehetséges a szerint, a mint az adott körök egyike a másikon kívül marad, vagy pedig egyik a másikat körülveszi.
Így tehát föladatunk öt különböző esetre terjed ki.
Egy a föltételeknek eleget tevő kör középpontjának meghatározása a következőképpen történik. ‐l. ábra. ‐ Az adott köröknek egyik $S$ hasonlósági pontjából tetszőleges, a köröket átmetsző egyenest húzunk.
Ez az $O$ középpontú kört $\mathrm{1,}2$, az $O\text{'}$ középpontút $2\text{'}\mathrm{,}1\text{'}$ pontokban metszi; e pontokat a megfelelő körök középpontjaival összekötjük; eme egyenesek közül az egymással nem párhuzamos egyenespárak metszéspontjai egy-egy érintő kör középpontját szolgáltatják. Így pl. az $O1$ és $O\text{'}1\text{'}$ egyenesek $I$ metszéspontja oly kör középpontja, mely az adottakat az $1$ és $1\text{'}$ pontokban ‐ tehát a domború oldalon érinti ‐ és őket körülveszi; holott az $O2$ és $O\text{'}2\text{'}$ egyenesek metszése által oly, az adott köröket $2$ és $2\text{'}$ pontokban ‐ a homorú oldalon ‐ érintő kör középpontját nyerjük, mely az adottakon egészen belül marad.
Hasonlóan használható föl a másik hasonlósági pont is. Itt azonban azt látjuk, hogy az eme hasonlósági pont segítségével előállítható körök mindegyike az adott körök egyikét belülről ‐ a homorú oldalon, ‐ a másikét pedig kívülről ‐ a domború oldalon ‐ érinti. Ilyen kör középpontja pl. $V\mathrm{.}$ ‐ A szerint, a mint a hasonlósági pontokból más és más irányú egyeneseket rajzolunk, állíthatók elő különböző érintő körök, vagyis a kitűzött föladatnak végtelen sok megoldása van.
A föloldásokat képező körök az előbb említettek szerint háromfélék a szerint, a mint az adottak mindegyikét kívül, vagy mindegyikét belül, vagy az egyiket kívül, a másikat pedig belül érintik. Így tehát az elősorolt öt eset mindegyikénél három mértani hely fordulna elő. Azonban a következőkből ki fog derülni, hogy oly körök középpontjai, melyek az adottakat egyértelműen, azaz mindegyikét vagy belül vagy kívül érintik ‐ melyeknek előállításánál tehát a külső hasonlósági pont szerepel ‐ nem helyezkednek el két különböző, hanem csak egy vonalon; míg ama körök középpontjai, melyek mindegyike az adottak egyikét belül, másikét pedig kívül érinti, ‐ melyek tehát a belső hasonlósági pont segítségével nyerhetők ‐ egy másik vonalon fekszenek. Mindössze tehát tíz mértani helyről szólhatunk.
Vegyük most az említett öt esetet tárgyalás alá.
(a) 1. ábra. A két adott kör egymást átmetszi.