A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A coordináta elv történeti fejlődése.
Az exakt tudományok terén kutató elme nagy vívmányainak egyike az a fölfedezés, hogy a számvetés és a tér alapelemei között szoros kapcsolat van. Kétségtelen, hogy nagy jelentőségű volt ama fontos ténynek igazi kiderítése, hogy az algebrai műveletek révén nyert eredményeket geometriailag lehet interpretálni; viszont a síknak és a térnek alakzatait (idomait) algebrai úton lehet kifejezni. Kiderült, hogy a térelemek kölcsönös helyzeteit, továbbá az elemekkel a térben végrehajtható műveleteket (operatiókat) algebrai úton is érthetővé lehet tenni. A mondottak értelmezésére és megvilágítására szolgáljanak a következők: Tudjuk, hogy a síkban a planimetria alapelemeivel nagyon könnyen elbánhatunk, mert a síkban körzővel és vonalzóval közvetetlenül szerkeszthetünk. Másképpen van a dolog a térben. A pont, az egyenes és a sík kölcsönös helyzeteit csak elképzeljük és az ezekre vonatkozó feladatokat rendszerint csak a képzeletben oldjuk meg. Ha pedig grafikailag akarjuk szemlélhetőkké tenni, akkor a constructiók a legtöbb esetben nehezek és teljes pontossággal csak az ábrázoló geometria elvei alapján hajthatók végre. Mekkora előnyt nyújtott, minő kényelmes utat mutatott tehát az új felfedezés, mely a szerkesztést fölöslegessé tette, a mennyiben algebrai kifejezések összetételéből biztos következtetést vonhatunk a térre. Természetes, hogy a fölfedezett új módszert másképpen és sokkal megfelelőbb módon is jellemezhetnők, hiszen a módszernek egyéb értéke is van és más irányban is nagy hasznát vették. A fönti hasonlatot csak azért választottam, mert ‐ e folyóirat szabta határokon belül ‐ vele a fölfedezés lényegét a legkönnyebben érthető módon megvilágosíthatni vélem. Hogy a tér alakzatai és a számvetés között ilyen szoros kapcsolat van, a tudósok csak lassan és fokozatosan derítették ki, é. p. azon mértékben, a minőben a coordinátákra nagyobb és nagyobb súlyt helyeztek. Itt tehát nem oly fölfedezésről van szó, mely ötletszerűen támad, vagy a melyre a véletlen vezet, hanem ez esetben a ténynek kiderítése gondosan elő volt készítve. ‐ Megtörténtnek tekinthettük a fölfedezést, más szóval bizonyossá vált a dolog, a mikor a tudósok belátták, hogy a coordinatákat nem szabad egyszerűen csak segédeszközöknek tekinteni, mert a coordináta fogalomnak nagyobb jelentősége, a coordináta elvnek mélyebbre ható értéke és értelme van. Habár nem mondhatjuk, hogy ez a fölfedezés kizárólag egyetlenegy lángelméjű tudós agyvelejének szüleménye, mind a mellett e vívmányt joggal Descartes-nak (Des Cartes, Cartesius 1596‐1650), a XVII. század legnagyobb franczia bölcsészének nevéhez fűzhetjük. Descartes megalapítója a tulajdonképpeni coordináta számításnak. A Descartes-, vagy a mint mondani szoktuk, Cartesius-féle rendszer módot nyújt a sík- és a térgeometria magasabb problemáinak algebrai úton való megfejtésére és ama rendszeren épült föl az az önálló szép disciplina, melyet ma analytikai geometriának nevezünk. Jelenleg a Cartesius-féle rendszeren kívül más rendszereket is ismerünk. A legújabb kor hírneves tudósai ugyanis a coordináta elv tökéletesítésén fáradozván, a fölött elmélkedtek, vajjon nem lehetne-e a Cartesius-féle rendszerhez hasonló és bizonyos szempontból talán még tökéletesebb rendszereket fölállítani? Fáradozásukat nagy siker koronázta! Czikksorozat alakjában ismertetni szándékozom a különböző, illetőleg a leggyakrabban használt coordináta rendszerek elemeit. Nagyobb tájékoztatás kedvéért azonban a sorozatot azzal kezdem, hogy futó pillantást vetek a coordináta elv történeti fejlődésére. ──── A coordináta elv fejlődésében több stádiumot különböztetünk meg. Günther S. dr. egyik dolgozatában hármat jelöl meg. Ha ama háromhoz azonban a legújabb kor vívmányait számítjuk, akkor tulajdonképpen négy fejlődés-stádiumunk van. Ősrégi időben leljük első nyomait a coordináták alkalmazásának. Már az egyiptomiak, majd görögök használtak elvétve coordinátákat. A görögök tiszta mathematikájában ugyan mi sem emlékeztet coordináta-számításra, de az alkalmazott mathematikában, csillagászatban, már találkozunk vele. A coordináta elv fejlődésének első stádiuma ez. Az első stádiumban csak odáig haladtak, hogy a síknak különböző pontjait két adott, vagy tetszés szerint fölvett egyenesre vonatkoztatták. Időszámításunk X. századában kis haladás történt. A haladás még mindig a csillagászat fejlődésével kapcsolatos. Abban az időben megtörténtek az első kísérletek pontosabb csillagászati térképek szerkesztésére, a mi főképpen abban állt, hogy nemcsak az égbolton észlelt csillagokat, hanem egyúttal a bolygóknak pályáit is a síkban ábrázolni iparkodtak. Az eljárás fölötte primitív volt. Az éggömbnek egy részét ugyanis a síkban kiterítve képzelték és úgy is ábrázolták; azt a csillagot pedig, melynek az égen szélességét és hosszúságát meghatározták, a síkban két egymást derékszög alatt metsző egyenesre vonatkoztatták és a csillagnak útját (térbeli görbéjét) a derékszöget alkotó egyenesek közé, mint sík-görbét rajzolták. Ezzel kezdődik a coordináta elv fejlődésének második stádiuma. Ama stádium igen sokáig tartott. Benne elérkeztek ugyan már a coordináták között ábrázolt görbe vonal fogalmához, a görbét azonban még nagyon egyszerű módon alakították. A meghatározás abban állt, hogy minden abscissához meghatározták a hozzátartozó ordinátát és az olymódon nyert pontokat görbe vonallal összekapcsolták. Az elv fejlődésének ama fokán a tudósok előtt a különböző görbe vonalak törvényszerűségei még teljesen ismeretlenek voltak. Kissé újabb lendületet hozott a XIV. század. Oresme Nicole (1320‐1382), nemkülönben a renaissance korszaknak néhány mathematikusa, úgy szintén későbben az arabok a coordináta fogalmat kissé általánosították, a módszert pedig annyira tökéletesítették, hogy nagyban egyengették az utat a harmadik stádiumba való átmenetelre. Egészen új jelentősége lett a coordinátáknak a fejlődés harmadik stádiumában. Az ama stádium, melyben a coordináta principium épülete a Descartes-féle rendszer fölállításával betetőzését nyerte. A harmadik stádiumot a következő jellemzi: Azokat az egyenleteket, melyek két változó mennyiséget (két ismeretlent, -et és -t) tartalmaznak, -ra reducált alakban általában így írhatjuk: . Az egyenlet határozatlan egyenlet. Sem -et, sem -t meg nem határozza ugyan, de ha -nek egy bizonyos értéket adunk, ezzel -nak bizonyos értéke meg van határozva. Az értéket ugyanis az egyenlet szolgáltatja. Az és együvé tartozó értékeket lehet geometriailag is szemlélhetővé tenni, ha valamely a síkban fölvett derékszögű coordináta rendszerre vonatkoztatjuk. Egy mértékül szolgáló egység segítségével, és a positív vagy negatív irány tekintetbevételével meghatározhatjuk a síkban azt a pontot, mely és -nak megfelel. Ha -nek egymásután -től -ig az összesen képzelhető reális értékeket tulajdonítjuk, akkor -nak is éppen annyi és rendszerint egymástól különböző érték felel meg. Geometriailag értelmezvén a dolgot, mondhatjuk, hogy ebben az esetben a síknak bizonyos pontja vonalat ír le. A vonal lehet egyenes vagy görbe. Ha az egyenlet baloldalán álló kifejezés -nek és -nak első fokú rationalis egész függvénye (első fokú egyenlet), akkor az egyenlet egyenes vonalat képvisel. Ha pedig az egyenlet másod-, harmad-, vagy magasabb fokú, akkor a vonal görbe. A coordináta elv fejlődésének harmadik stádiumában tehát végre teljesen bizonyossá vált, hogy az összefüggés, mely két reális érték között ( és között) van, kétféle módon találhat kifejezést. Algebrailag az egyenlet, geometriailag pedig a coordináták között elterülő vonal által. Kiderült továbbá (és az a fődolog), hogy mindazok a tételek, melyek az egyenletből algebrai úton levezethetők, egyúttal a vonalaknak (görbéknek) geometriai tételei. Viszont, mindama tételek, melyek geometriai következtetéseknek eredményei, melyeket megtalálunk, ha a vonalakkal constructiv úton foglalkozunk (nevezetesen a görbe vonalok tulajdonságai), egyúttal az egyenletnek algebrai tételei. Ez csekélynek látszó, de nagy jelentőségű felfedezés volt. Módot nyújtott olyan feladatok megfejtésére, melyeket mindaddig meg nem oldhatóknak tartottak, mert megoldásaikat más úton hiába keresték. Ennek kiderítése a XVI., illetőleg XVII. század három franczia mathematikusának, t. i. Vietá-nak (1540‐1603), Fermat-nak (1590‐1663) és Descartes-nak (1596‐1650) az érdeme. Descartes-sal egyidejűleg, de tőle teljesen függetlenül Fermat a coordináta fogalmat az infinitesimális számítás és az elméleti physika keretébe eső dolgozataiban teljes czéltudatossággal a legszélesebb körben érvényesítette. Ezért lehetne Fermát-t bátran az új analysis föltalálójának tekinteni. A babért még sem Fermat-nak, hanem Descartes-nak ítélte oda a világ! Ez azért történt, mert Descartes 1637-ben a tudós világot olyan munkával lepte meg, melyben a coordináta fogalom igazi értékét föltárta, melyben a coordináta-tan alapelveit teljesen rendszerbe foglalva egész nagyszerűségében kifejtette. Rendszerével Descartes a mathematika terén nagy forradalmat idézett elő. A tudósok igen sokáig csakis az általa megjelölt úton haladtak. Bekövetkezett az az idő, melyben ‐ mint egy tudós jellemzően mondja ‐ "mindenki számolt és senkisem construált". Descartes művében a sík analytikai geometriáját mutatta be. Módszerét csak két coordinátára vonatkozólag fejtette ki és vele a sík-görbék tulajdonságai ismeretesek lettek. Munkája azonban a tudósokat módszerének általánosítására serkentette. Buzdította őket a térgörbék és a felületek tulajdonságainak kipuhatolására. Mindez megvalósult, midőn kimutatni sikerült, hogy az egyenlet felületnek az egyenlete, melynek pontjait három coordináta síkra vonatkoztatjuk. Descartes utódai tehát kifejtették a tér analytikai geometriáját. Azt hihetnők, hogy a coordináta elv valódi értékének kiderítésével a coordináta fogalom fejlődésének fokozatos sorozata be van fejezve. Hihetnők, mert ezzel a dolog lényege csakugyan kiderült és könnyen gondolhatnók, hogy a haladás, mely e téren a legújabb korban észlelhető, nem egyéb mint értékesítése és természetes következménye a fölfedezésnek. ‐ Tévedünk, ha így okoskodunk, habár okoskodásunk részben igaz is. Van az elv fejlődésének még egy negyedik és a jelen korig utolsó stádiuma. A legújabb korban hírneves tudósok megmutatták, hogy az analysis és a geometria között levő kapcsolat nemcsak a Cartesius-féle rendszerben, hanem még sokféleképpen találhat kifejezést. Kiderítették, hogy a mint a Cartesius-féle rendszer néhány alapgondolatból kiindulva a maga elvein fölépült, éppen úgy fölépíthetünk más rendszereket is, ha más-más alapeszmékből indulunk ki. Kiderítették, hogy fölállíthatók olyan teljes rendszerek, melyek még általánosabbak mint a Cartesius-féle rendszer, melyekben a számítások egyszerűbbek és elegánsabbak, melyek alapján mélyebb betekintést nyerhetünk a mathematika titkaiba. Sőt kimutatták, hogy a Cartesius-féle rendszer, az általuk kifejtett általánosabb rendszereknek csak speciális esete és hogy az általánosabb rendszerekre vonatkozó eredményekből, egyszerű transformatiók segítségével a Cartesius-féle rendszer nyomán elért eredményeket bármikor megtalálhatjuk. Ilyen rendszereket Möbius (1790‐1868) és Plücker (1801‐1868) német tudósoktól bírunk. Möbius megmutatta, hogy valamely pontrendszernek (pontokból alkotott idomnak) a súlypontja kiinduló eszméje lehet egy új és érdekes számító módszernek. Ő fedezte föl az úgynevezett súlypont-(barycentrikus) coordináta rendszert. Plücker felfedezéséről kissé bajos e helyen szólani. A mathematikai kutatások e tere a középiskolai anyagot messze túlhaladja. Mind a mellett a dolog lényegéről legalább némi kis fogalmat alkothatunk magunknak, ha a fölfedezés jellemzésére részben Loria Ginonak könnyen érthető eszmemenetét követjük. A görögök geometriájában (az Euklides-féle geometriában) a pont az idomokat alkotó alapelem. A Cartesius-féle analytikai geometriában (a sík- és térgeometriában) a pont szolgál alapul az összes számításoknak. ‐ A tudósok idővel kiderítették, hogy a síkban (a planimetriában) az egyenest is éppen olyan joggal lehet az idomok alkotó eleméűl tekinteni, mint a pontot. Kiderítették továbbá, hogy a térben (a stereometriában) pedig a síkot lehet éppen úgy mint a pontot alkotó elemnek tekinteni. Geometriai műnyelven e körülményről azt szoktuk mondani, hogy a síkban a pontnak dualis eleme az egyenes: a térben pedig a pontnak dualis eleme a sík. Az egészet a dualitás elvének mondjuk. E fontos körülmény értékét Plücker teljesen ismerte és részben az ő érdeme is, hogy olyan rendszereket eszeltek ki, melyekben a síkban az egyenes vonal; a térben pedig a sík az idomokat alkotó elemek. Egyes-egyedül az ő érdeme azonban ama ténynek a kiderítése, hogy a térben is ugyanazt a szerepet viszi az egyenes vonal is, mint akár a pont, akár a sík. Plücker egészen új alapon nyugvó ‐ a dualitás elvétől kevéssé érintett ‐ rendszernek megalapítója. Ő teremtette meg az egyenes vonal analytikai geometriáját. Ne higyjük azonban, hogy a legújabb kor vívmányai ezért csorbát ejtenek Descartes érdemén. Descartes rendszere olyan alkotás, melyet mint úttörőt mindenkor tisztelni és bámulni fognak. Éppen úgy, mint a hogy Plücker rendszerét jelenleg csodáljuk. A coordináta elv fejlődésének negyedik, és a jelen korig utolsó stádiuma tehát az új alapeszmékből kiinduló rendszerek alakításának stádiuma. |