Kezdőlap


Cím:	Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 4.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1900/december, 84 - 89. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

16. Parameteres módszer. E módszer abban áll, hogy az

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c \end{matrix}

függvényt

m

-mel tesszük egyenlővé, hol

m

alatt parametert fogunk érteni, vagyis oly számot, melynek értékét a követelményekhez képest tetszés szerint megállapíthatjuk. Az

a x^{2} + b x + c - m = 0

egyenletből :

\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt[]{b^{2} - 4 a c + 4 a m}}{2 a} . \end{matrix}

A független változó reális értékeire szorítkozván, kell, hogy

\begin{matrix} b^{2} - 4 a c + 4 a m ≧ 0 \end{matrix}

vagyis positív legyen. Innét

\begin{matrix} 4 a m ≧ 4 a c - b^{2} . \end{matrix}

Föltéve, hogy

a

positív, akkor

\begin{matrix} m ≧ \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}

s a vizsgált függvény a

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

értéknél kisebb értéket nem vehet föl, s így ez lesz a függvény minimális értéke. Ha pedig az

a

negatív, akkor

\begin{matrix} m ≦ \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}

s a vizsgált függvény a

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

értéknél nagyobb értéket nem vehet föl, tehát ez a függvény maximális értéke.
Helyettesítsük

x

-nek kifejezésébe

m

-nek ezen határértéket, akkor a gyökjel alatti mennyiség zérussá válván, az eminens érték beálltával

\begin{matrix} x = - \frac{b}{2 a}, \end{matrix}

mint azt már első módszerünk alapján tudjuk.
E módszer, melynek neve parameteres módszer, minden oly esetben alkalmazható, a melyekben az előálló egyenlet általánosságban megoldható. A függvény eminens értékeit közvetlenül megadja ugyan, de a felől, hogy a függvény miként változik, míg a független változó végig halad a reális számok során, felvilágosítást nem nyújt. Hogy implicit egész függvények vizsgálatára mennyiben alkalmas, a következő példa fogja megmutatni:

17. Mely határok közt változik a

\begin{matrix} 6 x^{2} - 8 x y + 2 y^{2} + 4 x - 5 y + 2 = 0 \end{matrix}

egyenletben az

y

, mialatt az

x

a reális számok tengelyén halad végig?

\begin{matrix} 6 x^{2} - 2 x (4 y - 2) + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{4 y - 2 \pm \sqrt[]{4 y^{2} + 14 y - 8}}{6} . \end{matrix}

Hogy

x

reális értékű legyen, annak feltétele ez:

\begin{matrix} 4 y^{2} + 14 y - 8 ≧ 0. \end{matrix}

A korábbiakból tudjuk, hogy a másodfokú egész függvény abban az esetben, a mikor az

a

együttható positív, a gyökei közt fekvő intervallumban negatív értékű, különben pedig mindig positív. A

\begin{matrix} 4 y^{2} + 14 y - 8 = 0 \end{matrix}

egyenletnek gyökei

\begin{matrix} y_{1} = \frac{1}{2} y_{2} = - 4 \end{matrix}

s így, ha

x

- \infty ... + \infty

intervallumban változik, akkor

y

értékei a

\begin{matrix} - \infty ... - 4 \end{matrix}

és

\begin{matrix} + \frac{1}{2} ... + \infty \end{matrix}

intervallumokon haladnak végig.
Az adott két ismeretlenes másodfokú egyenlet egy kúpszelet egyenlete; e kúpszeletnek egy az

x

-tengelyre merőleges helyzetű száron belül pontjai nincsenek, ellenben ettől a szártól két oldalt a végtelenig kiterjed; a kúpszelet tehát hyperbola.

18. Vizsgáljuk meg az

\frac{(x - a) (x - b)}{x}

függvény eminens értékeit.

\begin{matrix} \frac{(x - a) (x - b)}{x} = m \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} - x = (a + b + m) + a b = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{a + b + m \pm \sqrt[]{{(a + b + m)}^{2} - 4 a b}}{2} . \end{matrix}

A valós értékek föltétele

\begin{matrix} {(a + b + m)}^{2} - 4 a b ≧ 0. \end{matrix}

Ezt kifejtve

\begin{matrix} m^{2} + 2 (a + b) m + {(a - b)}^{2} ≧ 0 \end{matrix}

származik. A baloldali trinom gyökei:

\begin{matrix} m_{1} = - (a + b) + 2 \sqrt[]{a b} \end{matrix}

\begin{matrix} m_{2} = - (a + b) - 2 \sqrt[]{a b} \end{matrix}

A minimum

x = \sqrt[]{a b}

esetében, a maximum

x = - \sqrt[]{a b}

esetében áll elő.

19. A parameteres módszer alkalmas az

\begin{matrix} y = \frac{a x^{2} + b x + c}{α x^{2} + β x + γ} \end{matrix}

törtfüggvény értékváltozásainak megvizsgálására is. E feladat megoldásával különben már egy, e lapok I. kötetében megjelent értekezés is foglalkozott (1. évf. 35. lap).

20. A

2 s

kerületű derékszögű háromszögek közül melyiknek területe a legnagyobb?

A háromszög oldalai legyenek :

x, y, z

. Az utolsó az átfogó.

\begin{matrix} x + y + z = 2 s \end{matrix}

\begin{matrix} x y = 2 m^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \end{matrix}

a feladat meghatározására szolgáló egyenletek.

\begin{matrix} x + y = 2 s - z \end{matrix}

felhasználásával:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x y = 4 s - 4 s \cdot z + z^{2} \end{matrix}

s ha ebből a 3. egyenletet levonjuk, akkor

\begin{matrix} 2 x y = 4 s^{2} - 4 s \cdot z \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} 4 m^{2} = 4 s^{2} - 4 s \cdot z \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} z = \frac{s^{2} - m^{2}}{s} . \end{matrix}

Helyettesítsük ezt az értéket az 1. egyenletbe, akkor

\begin{matrix} x + y = 2 s - z = 2 s - \frac{s^{2} - m^{2}}{s} = \frac{s^{2} + m^{2}}{s} . \end{matrix}

Ismervén

x y

-t és

(x + y)

-t, felállíthatjuk azt a 2. fokú egyenletet, melynek

x

és

y

a gyökei; ez pedig

\begin{matrix} ξ^{2} - \frac{s^{2} + m^{2}}{s} \cdot ξ + 2 m^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} ξ = \frac{s^{2} + m^{2} \pm \sqrt[]{{(s^{2} + m^{2})}^{2} - 8 s^{2} m^{2}}}{2 s} \end{matrix}

\begin{matrix} ξ = \frac{s^{2} + m^{2} \pm \sqrt[]{(s^{2} + m^{2} + 2 s m \sqrt[]{2}) (s^{2} + m^{2} - 2 s m \sqrt[]{2})}}{2 s} . \end{matrix}

Föltéve már most, hogy a

2 s

kerület állandó, kereshetjük azt, hogy az m

^{2}

terület mely határok közt változhat. Mindenekelőtt

\begin{matrix} z = \frac{s^{2} - m^{2}}{s} \end{matrix}

kell, hogy positív legyen, minek föltétele

\begin{matrix} s^{2} - m^{2} > 0 \end{matrix}

s minthogy úgy az

s

, mint az

m

lényegesen positív mennyiségek, ennélfogva

\begin{matrix} s > m . \end{matrix}

Továbbá

x

és

y

számára csakis reális, sőt csakis positív értékeket fogadhatunk el. Vegyes másodfokú egyenletünk jelváltozásaiból következik, hogy ha az egyenletnek gyökei reálisok, akkor azok positívok is. Az utóbbi szűkebb körű föltétel tehát a realitás tágabb körű föltételében benne foglaltatván, elégséges, ha

\begin{matrix} (s^{2} + m^{2} + 2 s m \sqrt[]{2}) (s^{2} + m^{2} - 2 s m \sqrt[]{2} ≧ 0. \end{matrix}

A baloldali szorzatnak első tényezője mindig positív lévén, a vizsgálatot csupán a második tényezőre kell kiterjesztenünk, s így föltételi egyenlőtlenségünk

\begin{matrix} s^{2} + m^{2} - 2 s m \sqrt[]{2}) ≧ 0 \end{matrix}

alakban írható föl.
Minthogy

m^{2}

-nek együtthatója positív, azért

m

\begin{matrix} m^{2} - 2 s m \sqrt[]{2} + s^{2} = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökeitől meghatározott intervallumon kívül minden értéket fölvehet. Az egyenlet gyökei :

\begin{matrix} m_{1} = s (\sqrt[]{2} + 1) \end{matrix}

\begin{matrix} m_{2} = s (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix}

m_{1}

gyök minimumra vezetne; de az

s > m

föltétel tekintetbe vétele mellett mind az

m_{1}

értéket, mind pedig az

m_{1}

-nél nagyobb értékeket ki kell zárnunk, mert föltételünknek nem tesznek eleget. Az

m_{2}

gyök, mely a terület maximumának felel meg, eleget tesz az

s > m

föltételnek, s ezt minden az

m_{2}

-nél kisebb érték is kielégíti. A maximum esetében

\begin{matrix} m^{2} = s^{2} {(\sqrt[]{2} - 1)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} = s^{2} (3 - 2 \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

Erre a határértékre nézve a

ξ

kifejezésében szereplő gyökjel alatti mennyiség eltűnik, s így az egyenletnek egyenlő gyökei vannak. De ezek a gyökök

x

-et és

y

-t, a háromszög befogóit adják, s így az állandó kerületű derékszögű háromszögek között a derékszögű egyenlőszárú háromszögnek legnagyobb a területe. Minthogy

\begin{matrix} x = y = s (2 - \sqrt[]{2}) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} z = 2 s (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix}

21. Az adott területű derékszögű háromszögek közül melyiknek kerülete a legkisebb?

Ugyanis csupán azt kell megállapítanunk, hogy

s

-nek mely értékeire nézve áll

\begin{matrix} s^{2} - 2 s m \sqrt[]{2} + m^{2} ≧ 0. \end{matrix}

Minthogy

s^{2}

-nek együtthatója positív, ismét csak az

\begin{matrix} s^{2} - 2 s m \sqrt[]{2} + m^{2} = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet gyökeitől határozott intervallumon kívül eső értékekre szorítkozhatunk. Az egyenlet gyökei :

\begin{matrix} s_{1} = m (\sqrt[]{2} + 1) \end{matrix}

\begin{matrix} s_{2} = m (\sqrt[]{2} - 1), \end{matrix}

melyek közül az első a minimum, a második a maximum esetét adja. A maximum esete nem felelvén meg az

s > m

föltételnek, nemcsak maga, de a nála nagyobb értékek mindegyike is kizárandó. Így tehát egyedül a minimum esete áll fenn, s a kerület ebben az esetben

\begin{matrix} = m (\sqrt[]{2} + 1) . \end{matrix}

A gyökzendő eltűnéséből a gyökök egyenlősége következvén, kimondhatjuk, hogy az egyenlő területű derékszögű háromszögek közt az egyenlőszárú derékszögű háromszögnek kerülete a legkisebb.

22. Steiner-féle megfejtés. Az egyenlő kerületű derékszögű négyszögek között a négyzetnek területe a legnagyobb.
E feladat megfejtését Jacob Steiner (1796‐1863) nyomán adjuk (Steiner-Schröter: Theorie der Kegelschnitte p. 41.). E módszer egyrészt azt igazolja, hogy nem mindig az általános módszer a legegyszerűbb, hanem sok feladatnál különös módszer alkalmazható előnyösen, másrészt meg azt, hogy az analysis mellett a geometria is megállja helyét a maga módszereivel.
Legyen

A B

az állandó kerületnek fele, tehát a két szomszédos oldalnak összege.

M

A B

-nek közepe;

A M P Q

A M

oldal fölött alakított négyzet. Kössük össze

B

-t a

P

-vel, s állítsunk ennek az egyenesnek egy tetszésszerinti

P'

pontjából

A B

-re merőlegeset,

P' M'

-t. Húzzuk

P' Q'

-t az

A B

-vel párhuzamosan, s keressük föl a

P Q

és

P' M'

egyenesnek

S

metszéspontját.

A M' P Q'

derékszögű négyszög oldalainak nyilván ugyanakkora az összege, mint az

A M P Q

négyzet esetében. Terület

M M' S P = P Q Q' R

, mert egybevágók; tehát terület

M M' P' R < P Q Q' R

s így terület

A M' P' Q' < A M P Q

; tehát tényleg a négyzet a legnagyobb területű négyszög az egyenlő kerületűek között.
A paraméteres módszer alkalmazható a következő feladatokra:
876. Vizsgáljuk meg az adott kör körül írt egyenlőszárú trapéz területének változásait, s állapítsuk meg az eminens értékű terület esetét.
877. Adott derékszögű négyszög körül írjunk minimális területű egyenlőszárú háromszöget.
878. Az

A B C D

négyzetnek meghosszabbított

C D

oldalán keressük föl azt az

M

pontot, melyre nézve az

M A : M B

aránynak értéke maximális.
879. Az

O x, O y

tengelyek egymásra merőlegesek.

O y

-on fekszik a

C

pont,

O x

-en az

M

és

B

pontok. Határozzuk meg

O x

-en az

M

pontnak helyzetét olyképen, hogy

\frac{M A \cdot M B}{{\bar{M C}}^{2}}

eminens értéket vegyen föl. (Specialis eset:

{\bar{O C}}^{2} = O A \cdot O B