A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 16. Parameteres módszer. E módszer abban áll, hogy az függvényt -mel tesszük egyenlővé, hol alatt parametert fogunk érteni, vagyis oly számot, melynek értékét a követelményekhez képest tetszés szerint megállapíthatjuk. Az egyenletből : A független változó reális értékeire szorítkozván, kell, hogy vagyis positív legyen. Innét Föltéve, hogy positív, akkor s a vizsgált függvény a értéknél kisebb értéket nem vehet föl, s így ez lesz a függvény minimális értéke. Ha pedig az negatív, akkor s a vizsgált függvény a értéknél nagyobb értéket nem vehet föl, tehát ez a függvény maximális értéke. Helyettesítsük -nek kifejezésébe -nek ezen határértéket, akkor a gyökjel alatti mennyiség zérussá válván, az eminens érték beálltával mint azt már első módszerünk alapján tudjuk. E módszer, melynek neve parameteres módszer, minden oly esetben alkalmazható, a melyekben az előálló egyenlet általánosságban megoldható. A függvény eminens értékeit közvetlenül megadja ugyan, de a felől, hogy a függvény miként változik, míg a független változó végig halad a reális számok során, felvilágosítást nem nyújt. Hogy implicit egész függvények vizsgálatára mennyiben alkalmas, a következő példa fogja megmutatni:
17. Mely határok közt változik a egyenletben az , mialatt az a reális számok tengelyén halad végig? Hogy reális értékű legyen, annak feltétele ez: A korábbiakból tudjuk, hogy a másodfokú egész függvény abban az esetben, a mikor az együttható positív, a gyökei közt fekvő intervallumban negatív értékű, különben pedig mindig positív. A egyenletnek gyökei s így, ha a intervallumban változik, akkor értékei a és intervallumokon haladnak végig. Az adott két ismeretlenes másodfokú egyenlet egy kúpszelet egyenlete; e kúpszeletnek egy az -tengelyre merőleges helyzetű száron belül pontjai nincsenek, ellenben ettől a szártól két oldalt a végtelenig kiterjed; a kúpszelet tehát hyperbola.
18. Vizsgáljuk meg az függvény eminens értékeit. A valós értékek föltétele Ezt kifejtve származik. A baloldali trinom gyökei: A minimum esetében, a maximum esetében áll elő.
19. A parameteres módszer alkalmas az törtfüggvény értékváltozásainak megvizsgálására is. E feladat megoldásával különben már egy, e lapok I. kötetében megjelent értekezés is foglalkozott (1. évf. 35. lap).
20. A kerületű derékszögű háromszögek közül melyiknek területe a legnagyobb?
A háromszög oldalai legyenek : . Az utolsó az átfogó. a feladat meghatározására szolgáló egyenletek. felhasználásával: s ha ebből a 3. egyenletet levonjuk, akkor Ennélfogva honnét Helyettesítsük ezt az értéket az 1. egyenletbe, akkor | | Ismervén -t és -t, felállíthatjuk azt a 2. fokú egyenletet, melynek és a gyökei; ez pedig | | Föltéve már most, hogy a kerület állandó, kereshetjük azt, hogy az m terület mely határok közt változhat. Mindenekelőtt kell, hogy positív legyen, minek föltétele s minthogy úgy az , mint az lényegesen positív mennyiségek, ennélfogva Továbbá és számára csakis reális, sőt csakis positív értékeket fogadhatunk el. Vegyes másodfokú egyenletünk jelváltozásaiból következik, hogy ha az egyenletnek gyökei reálisok, akkor azok positívok is. Az utóbbi szűkebb körű föltétel tehát a realitás tágabb körű föltételében benne foglaltatván, elégséges, ha | | A baloldali szorzatnak első tényezője mindig positív lévén, a vizsgálatot csupán a második tényezőre kell kiterjesztenünk, s így föltételi egyenlőtlenségünk alakban írható föl. Minthogy -nek együtthatója positív, azért az egyenlet gyökeitől meghatározott intervallumon kívül minden értéket fölvehet. Az egyenlet gyökei : Az gyök minimumra vezetne; de az föltétel tekintetbe vétele mellett mind az értéket, mind pedig az -nél nagyobb értékeket ki kell zárnunk, mert föltételünknek nem tesznek eleget. Az gyök, mely a terület maximumának felel meg, eleget tesz az föltételnek, s ezt minden az -nél kisebb érték is kielégíti. A maximum esetében Erre a határértékre nézve a kifejezésében szereplő gyökjel alatti mennyiség eltűnik, s így az egyenletnek egyenlő gyökei vannak. De ezek a gyökök -et és -t, a háromszög befogóit adják, s így az állandó kerületű derékszögű háromszögek között a derékszögű egyenlőszárú háromszögnek legnagyobb a területe. Minthogy tehát
21. Az adott területű derékszögű háromszögek közül melyiknek kerülete a legkisebb?
Ugyanis csupán azt kell megállapítanunk, hogy -nek mely értékeire nézve áll Minthogy -nek együtthatója positív, ismét csak az másodfokú egyenlet gyökeitől határozott intervallumon kívül eső értékekre szorítkozhatunk. Az egyenlet gyökei : melyek közül az első a minimum, a második a maximum esetét adja. A maximum esete nem felelvén meg az föltételnek, nemcsak maga, de a nála nagyobb értékek mindegyike is kizárandó. Így tehát egyedül a minimum esete áll fenn, s a kerület ebben az esetben A gyökzendő eltűnéséből a gyökök egyenlősége következvén, kimondhatjuk, hogy az egyenlő területű derékszögű háromszögek közt az egyenlőszárú derékszögű háromszögnek kerülete a legkisebb.
22. Steiner-féle megfejtés. Az egyenlő kerületű derékszögű négyszögek között a négyzetnek területe a legnagyobb. E feladat megfejtését Jacob Steiner (1796‐1863) nyomán adjuk (Steiner-Schröter: Theorie der Kegelschnitte p. 41.). E módszer egyrészt azt igazolja, hogy nem mindig az általános módszer a legegyszerűbb, hanem sok feladatnál különös módszer alkalmazható előnyösen, másrészt meg azt, hogy az analysis mellett a geometria is megállja helyét a maga módszereivel. Legyen az állandó kerületnek fele, tehát a két szomszédos oldalnak összege. az -nek közepe; az oldal fölött alakított négyzet. Kössük össze -t a -vel, s állítsunk ennek az egyenesnek egy tetszésszerinti pontjából -re merőlegeset, -t. Húzzuk -t az -vel párhuzamosan, s keressük föl a és egyenesnek metszéspontját.
Az derékszögű négyszög oldalainak nyilván ugyanakkora az összege, mint az négyzet esetében. Terület , mert egybevágók; tehát terület s így terület ; tehát tényleg a négyzet a legnagyobb területű négyszög az egyenlő kerületűek között. A paraméteres módszer alkalmazható a következő feladatokra: 876. Vizsgáljuk meg az adott kör körül írt egyenlőszárú trapéz területének változásait, s állapítsuk meg az eminens értékű terület esetét. 877. Adott derékszögű négyszög körül írjunk minimális területű egyenlőszárú háromszöget. 878. Az négyzetnek meghosszabbított oldalán keressük föl azt az pontot, melyre nézve az aránynak értéke maximális. 879. Az tengelyek egymásra merőlegesek. -on fekszik a pont, -en az és pontok. Határozzuk meg -en az pontnak helyzetét olyképen, hogy eminens értéket vegyen föl. (Specialis eset: ). |