A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. N i k o m e d e s. (Kr. e. II. század.) A Kr. e. III. század három óriásának működése után nem igen lehetett szó újabb eredményekről, további fejlődésről a mathematika terén. Euklides, Archimedes és Apollonius a lehető legmagasabb fokra emelték tudományukat bámulatos lángelméjükkel; kisebb tehetségek csakis az esetleg továbbra is megoldás nélkül maradt kérdésekkel foglalkozhattak vagy olyanokkal, melyeket amazok vetettek fel. Azért is ne csodálkozzunk, a mikor e nagy eredmények után ismét csak a delosi problema, a triszekczió, esetleg egy-egy körmérési feladat lép fel és a Kr. e. II. század mathematikusai összes munkásságukat csak ily kérdésben fejtik ki. Hiszen mi magunk, kik pedig mathematikai módszerben nevelve, néhány évi tanulás után megismerhetjük mindazt, a mit e nagy elmék 2000 évvel ezelőtt tudtak, nemcsak bámulva csodáljuk ez eredményeket, hanem egyszerűen érthetetlen rejtélynek tartjuk azt a körülményt, hogy ők tulajdonképpen rendszeres mathematikai iskolázottság híján annyi tudomány birtokába tudtak jutni és e tudományhoz még módszert is adni. Szinte természetesnek tűnik fel, hogy ekkora haladás után bizonyos stagnálás álljon be: a haladás oly rohamos volt, hogy az elmék nem is voltak eléggé érettek és elkészültek arra, hogy ez óriási anyaggal megküzdjenek. Nem csoda tehát, hogy a nagy mathematikusokat közvetlenül követők nem bírtak arra a magaslatra fellépni, melyen azok voltak és nem gyarapították a tudományokat nagyszabású munkálatokkal, sem módszert nem dolgoztak ki, hanem megelégedtek az előbb említett, szinte már konvenczionális kérdésekkel. Elsőnek Nikomedest említjük meg azok közül, kiknek neve e problémákhoz fűződik. Személyéről egyebet nem tudunk, mint azt, hogy Kr. e. 200 körül szerkeszthette meg azt a görbe vonalat, mellyel a következőkben részletesebben foglalkozunk.
E görbe neve: kagylóvonal (conchois) és úgy keletkezik, hogy egy egyenesnek (1. ábra) állandó pontjából sugarakat húzunk az ezen egyenesre merőleges egyenesnek egyes pontjaihoz: és e pontokból a sugarakra állandó a távolságot rakunk fel felé, úgy hogy: Nikomedes maga ezt a pontot pólusnak (óo) nevezte, a görbét pedig egy eszköz segélyével rajzolta meg. Ez eszköz szerkezetét a mellékelt ábra teljesen megérteti: bővebb magyarázatra nincs szükség.
Nikomedes azt mutatta ki e vonalról, hogy az mindinkább közeledik az állandó egyeneshez és hogy minden egyenes vonal, mely az állandó egyenes és a kagylóvonal között fekszik, ez utóbbit metszi, végre pedig felhasználta a görbét a delosi probléma megoldására, a miben páratlan mathematikai éleslátást tanúsított. Nikomedes eredeti szerkesztése a következő: legyen a két egyenes és , melyeknek kétszeresei közé két középarányos: és ékelendő, úgy hogy a következő aránylat legyen: Szerkesszünk oly derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója: és átfogója: (1. ábra).
Vigyünk fel továbbá a befogó meghosszabbítására ponttól jobbra és balra és távolságokat, melyeknek mindegyike -val egyenlő. Húzzuk meg a egyenest és ezzel a ponton keresztül párhuzamost. Mármost legyen ez a egyenes oly kagylóvonalnak állandó egyenese, melynek polusa a pont és melynek állandó távolsága legyen. E kagylóvonal a egyenest pontban metszi; kössük össze az pontot -vel egyenes vonallal, mely a egyenest pontban metszi. Mivel és párhuzamosak, a következő aránylat áll fönn: ha -t -nal és -et -szel jelöljük, így írhatjuk az aránylatot: Vonjuk ki az utótagokat az előtagokból, lesz : miből: ezt az egyenletet ismét más aránylatban fejezhetjük ki : Most még csak az és közötti arányt kell megtalálnunk. E végből vegyük tekintetbe, hogy az egyenes az és derékszögű háromszögek közös befogója és mint ilyen, négyzete a Pythagoras tétele által kifejezhető: az egyszerűbb jelzéseket behelyettesítve: miből: tehát: Ezt az utóbbi: arányt azonban még máshonnan is meg kell határoznunk. Szerkesszünk az oldalra téglalapot, melyben és kössük össze az pontot a ponttal, úgy hogy ez az egyenes meghosszabbítva pontban messe az oldal meghosszabbítását. Mivel és hasonlók egymáshoz, azért: vagyis: Mert azonban már egy aránylatunk volt, azért tehát . Végre pedig és háromszögek is hasonlók; e miatt: vagyis: Mivel pedig már egy aránylatunk volt, ez a most nyerttel egybevetve, lesz: s így végre: Nikomedes a kagylóvonalat valamely szögnek megharmadozására is igen ügyesen felhasználta.
E czélból a szög egyik szárára merőlegest állítunk (l. ábra); ezt a vonalat felhasználjuk oly kagylóvonal állandó egyeneséül, melynek polusa az pont és melynek állandó távolsága: az átfogónak a kétszerese; a kagylóvonal pontban metszi a ponton keresztül, az -val vont párhuzamost; kössük össze még a pontot -val, akkor a máris a szögnek harmadrésze. Ezt könnyen bebizonyíthatjuk: legyen az metszési pontja az -vel: , akkor a feltétel szerint ; ha pedig e egyenes középpontját -vel jelöljük, akkor azt látjuk, hogy a és háromszögek egyenlőszárúak; a háromszögben a két egyenlő szög: ; mivel pedig a a mellékszöge, azért az háromszögben a két egyenlő szög: . Végre pedig , mint belváltószögek s így csakugyan .
|
|