Kezdőlap


Cím:	Az Euler-féle egyenes
Füzet:	1899/szeptember, 5 - 6. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden háromszögben a magassági pont $M$ , a tömegközéppont $S$ és a háromszög köré írható kör középpontja $O$ egy egyenesen ‐ az Euler-féle egyenesen ‐ fekszik, még pedig úgy, hogy a magassági pontnak a tömegközépponttól való távolsága kétszer annyi, mint ez utóbbinak a háromszög köré írható kör középpontjától való távolsága; azaz $S M = 2 S O$ .

Bizonyítás. Rajzoljuk meg az

A B C

háromszögben a

C C_{1}

és

B B_{1}

magasságokat, melyek egymást

M

-ben metszik, továbbá a

C D

és

B E

középvonalakat, melyeknek metszéspontja a háromszög tömegközéppontja.

M S

-nek a meghosszabbítására mérjük rá

M S

-nek a felét, úgy, hogy

O S = \frac{1}{2} M S

Hogy tételünket bebizonyíthassuk, kimutatjuk, hogy az

O

pontot az

A C

és

A B

oldalak középpontjaival összekötő

O E

és

O D

egyenesek a háromszög megfelelő oldalaira merőlegesek, miből következik, hogy

O

a háromszög köré írható kör középpontja, mert e pontban metszik egymást az oldalak középpontjaiban emelt merőlegesek. Forgassuk a

D O S

és

E O S

háromszögeket

180^{\circ}

-kal

S

körül, úgy, hogy

O

pont

O'

-be,

D

pont

D'

-be és

E

pont

E'

-be jut. Minthogy

S O' = \frac{1}{2} S M, S D' = \frac{1}{2} S C, S E' = \frac{1}{2} S B

, azért

S D' O' ▵ \sim S V M ▵

és

S O' E' ▵ \sim S M B ▵

s így

D' O' ∥ C M

és

E' O' ∥ B M

. De

D' O' ∥ O D, E' O' ∥ E O

s így

O D ⊥ A B

és

O E ⊥ A C

.
Jegyzet. A Feuerbach-féle kör középpontja

(F)

ugyancsak az Euler-féle egyenesen fekszik, még pedig egyenlő távolságban a magassági ponttól és a háromszög köré írható kör középpontjától. Így tehát

\begin{matrix} M F : S O : F S = 3 : 2 : 1. \end{matrix}

(K.M.L.V.22. lap).
Tételünket felhasználva, könnyen oldhatjuk meg a következő feladatot: (Ld. 585 feladat.)