Kezdőlap


Cím:	Bűvös négyzetek 1.
Füzet:	1898/december, 64 - 66. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bűvös négyzetnek mondjuk az olyan négyzetet, melynek $n \times n$ mezeje $1$ -től $n^{2}$ -ig terjedő egész számokat oly elrendezésben tartalmazza, hogy az egyes sorokban, oszlopokban és az átlók mentén álló számok összege ugyanaz. Az első ábrában pl. az $1$ -től $16$ -ig terjedő számokat úgy rendeztük el, hogy a $4$ sorban, a $4$ oszlopban és a $2$ átló mentén a számok összege $34$ . E négyzetet Albrecht Dürer (1471-1528) Melancholie czímű képén találjuk. A legalsó sornak két középső száma ( $1514$ ) jelzi a kép készítésének idejét.

\begin{matrix} 13 & 3 & 2 & 16 \\ 8 & 10 & 11 & 5 \\ 12 & 6 & 7 & 9 \\ 1 & 15 & 14 & 4 \end{matrix}

A bűvös négyzetek érdekes tulajdonságaival a legrégibb időktől fogva sokan foglalkoztak, noha e kérdésnek tudományos vagy gyakorlati szempontból nagyobb jelentősége nincsen.
A következőkben behatóbban foglalkozunk a bűvös négyzetekkel; bemutatjuk a régibb, érdekesebb módszereket, melyek azonban csak egyes esetekben alkalmazhatók; foglalkozunk a kérdés elméleti oldalával s végül megismertetjük az általános módszereket.
Ha az

1

-től

n^{2}

-ig terjedő egész számokból akarunk bűvös négyzetet szerkeszteni, akkor mindenekelőtt meghatározzuk azt a számot, melyet minden egyes sor összegül ad; ezen összeget

S

-sel jelölve:

\begin{matrix} n \times S = 1 + 2 + 3 + \dots + {(n - 1)}^{2} + n^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} n \times S = \frac{n^{2}}{2} (1 + n^{2}), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} S = \frac{n}{2} (1 + n^{2}) . \end{matrix}

Ha pl.

n

helyébe

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

-et teszünk, akkor

S

, a keresett összeg:

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505

.
Szerkesszünk először olyan bűvös négyzetet, melynek

3

sora s

3

oszlopa van; ha a sorok, oszlopok s átlók irányában a számokat összeadjuk, akkor azt látjuk, hogy a középső mező

4

-szer, a sarok mezők mindegyike

3

-szor, a többi mező pedig

2

-szer szerepel.
Hogy a számokat kellőképpen elhelyezhessük, képezzük az

1

-től

9

-ig terjedő számokból az összes hármas combinatiókat, melyek összegül

15

-öt adnak. Ezek a következők:

\begin{matrix} 159, 168, 249, 258, 267, 348, 357, 456. \end{matrix}

Azt látjuk, hogy az

5

négy csoportban, a

2, 4, 6, 8,

három csoportban, az

1, 3, 7, 9,

pedig két csoportban fordul elő. Ennek alapján az

5

kerül a középső mezőbe, a

2, 4, 6, 8

a szélső sarok mezőkbe, a többi számok pedig az üresen maradt mezőkbe. Így szerkeszthetjük meg a második ábrát. A számokat természetesen másképpen is helyezhetjük el; az

5

-nek azonban a fentebbiek értelmében okvetlenül a középső mezőbe kell jutnia. A páros számok akármelyik sarokmezőben állhatnak, miért is összesen

8

különböző elhelyezés lehetséges.

\begin{matrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{matrix}

Általánosabb s talán a legismertebb a Bachet de Méziriac-féle ^{$^{*}$}. módszer. Eljárása a következő: Szerkesszünk két négyzetet, még pedig úgy, hogy mindegyiknek az átlói a másik négyzet oldalaira merőlegesen álljanak. A rajzon kijelölt módon atz egyikbe a számokat

1

-től

25

-ig sorban beírjuk. Ez által az

A B C D

négyzetbe

13

szám kerül; az ezen négyzeten kívül álló számokat azután egymáshoz való helyzetük megváltoztatása nélkül a szemközt fekvő oldalnak üresen maradt helyeire írjuk. Így kapjuk azt a bűvös négyzetet, melyben minden sor, oszlop, s átló összegül

65

-öt ad.

\begin{matrix} 3 & 16 & 9 & 22 & 15 \\ 20 & 8 & 21 & 14 & 2 \\ 7 & 25 & 13 & 1 & 19 \\ 24 & 12 & 5 & 18 & 6 \\ 11 & 4 & 17 & 10 & 23 \end{matrix}

Ezen eljárás mindig alkalmazható, ha a mezők száma páratlan.

^{$^{*}$}Problemes plaisants et délectables qui se font par les nombres par Claude-Gaspar Bachet sieur de Méziriac (1612)