Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből: Euklides 6.
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1899/február, 97 - 100. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. "Elemek": X. könyv.   Euklides művének eme legterjedelmesebb könyvében összegyűjti mindazt, a mit Plato iskolájában az összemérhetetlen mennyiségekről megállapítottak; kiválóan Teheaetetos, az iskola egyik tagja tette tüzetes tanulmányok tárgyává a mennyiségek eme fajtáját. Érdekes dolog azonban itt az, hogy míg Pythagoras és Plato iskolájában a manapság irraczionálisaknak nevezett mennyiségeket közösen "kimondhatatlan"-oknak mondták, addig Euklides eme mennyiségeket különböző fajaik szerint osztályozza. Az 1. definíczió szerint azok a mennyiségek, melyeknek közös mértékük van, összemérhetők, a 2. szerint, a melyeknek nincs, összemérhetetlenek $\left(\alpha \sigma \nu \mu \mu \epsilon \tau \rho o\nu \right)$. Ezek volnának tehát az irraczionális $\left(\alpha \lambda o\gamma o\nu \right)$ mennyiségek. A 3. definíczió szerint: mennyiségek hatványban összemérhetők, ha négyzeteik mérhetők egy közös területi egységgel; ilyeneket azonban Euklides még $\left(\rho \eta \tau o\nu \right)$ mennyiségeknek tekint; mai jelölésünk szerint ilyenek: $\sqrt[]{a}$ és $\sqrt[]{b}$ volnának, ha négyzeteik: $a$ és $b$ összemérhetők. Csak az oly mennyiségek összemérhetetlenek Euklides szerint a 4. definíczió alapján, melyek még négyzeteikben is összemérhetetlenek; ilyen pl.: $\sqrt[4]{a}$ és $\sqrt[4]{b}$, ha $a$ és $b$ még összemérhetetlen. Nagy gonddal és óvatossággal bánik el Euklides a mennyiségekkel, a mikor megállapítja összemérhetőségüket vagy összemérhetetlenségüket, de alapjában véve néha túlságos körülményes vizsgálatokat eszközöl e tekintetben; ezt azonban azok a nehézségek hozzák magukkal, melyeket az irraczionális mennyiségeknek vonalok által való jelzése támaszt. Az 1. feladatban oly tétellel ismerkedünk meg, melyen egy egész önálló, érdekes mathematikai módszer alapul. A tétel így szól: Ha két nem egyenlő mennyiség van adva és a nagyobbikból elvesszük felét vagy a felénél nagyobbat, a maradékból ismét a felét vagy a felénél nagyobbat és ezt így tovább folytatjuk: marad végre oly mennyiség, mely az adott kisebb mennyiségnél is kisebb. A tétel értelme ez: legyen a két adott mennyiség $A$ és $B$ és $A>B$; akkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\cdot \alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \delta \text{...}<B\mathrm{,}}\end{array}$ ha $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}\delta \text{...}$ mennyiségek mindegyike $\leqq \frac{1}{2}$. Euklides e tétel által azt az utat akarja megjelölni, a melyen egyik mennyiségből kiindulva folytonos felosztás, megközelítés alapján a másikat lehet elérni. Megjegyzem e helyen azt is, hogy e tételnél még arra a megszorításra sincs szükség, melyet Euklides megtesz, hogy az $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}\delta \mathrm{,}\text{...}$ mennyiségek mindegyike $\leqq \frac{1}{2}$ legyen, elég, ha azok mindegyike kisebb $1$-nél. Euklides azonban e tétel kimondása által a XII. könyvének 2. feladatát készíti elő, melyben a határ: $\frac{1}{2}$. E feladat tárgyalásánál fogunk egyszersmind azzal a módszerrel is bővebben megismerkedni, melynek alapköve a X. könyv 1. feladatában kimondott tétel. Az összemérhetetlenségnek mintegy praktikus magyarázatát a 2. feladat adja: Ha két nem egyenlő mennyiség közül folytonosan váltogatva a nagyobból a kisebbiket levonjuk és a maradék soha sem foglaltatik az előtte való mennyiségben, a két mennyiség összemérhetetlen. A 3. feladat tárgya két összemérhető mennyiség legnagyobb közös mértékének felkeresése a váltogatott lemérések segélyével. A 7. feladat az összemérhetetlenségnek ezt a magyarázatát adja: Az összemérhetetlen mennyiségek nincsenek egymáshoz oly arányban, mint szám a számhoz. A 29. feladat azt a czélt tűzi ki, hogy kerestessék két oly szám, melyeknek négyzetei összeadva ismét teljes négyzetet adnak; ez tehát az $a^2+b^2=c^2$ egyenlet egész számú megoldása, geometriailag pedig egész számok által mérhető oldalakkal bíró derékszögű, szóval pythagorasi háromszögek felkeresése. Mint tudjuk, specziális esetekben e feladatot már Pythagoras (IV. évf. 127. lap) és Plato (V. évf. 62. lap) oldották meg és meg is adták az ilynemű számoknak megfelelő szerkesztési módját, képletét. Euklides teljes általánosságban adja a feladat megoldását, a melyben az egyes oldalok számára körülbelül a következő képleteket adja: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=klm\mathrm{,}b=\frac{k{l}^2-k{m}^2}{2}\mathrm{,}c=\frac{k{l}^2+k{m}^2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A 32., 33. meg a 34. és 35. feladatban a $\sqrt[]{a\sqrt[]{b}}$ és $\sqrt[4]{ab}$ alakú számok fordulnak elő, melyeket Euklides medialis vonaloknak $\left(\mu \epsilon \text{'}\sigma \eta \right)$ nevez. A 37-73. feladatok az $a+\sqrt[]{b}$ és $\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}$, a 74-116. feladatok pedig az $a-\sqrt[]{b}$ és $\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}$ alakú mennyiségeket tárgyalják; az előbbiek a binomialisok ($\eta \text{'}\epsilon \text{'}\chi \delta \upsilon \text{o}\iota \nu \text{ó}\nu \text{o}\mu \text{á}\tau \omega \nu )$, az utóbbiak az apotomák ($\text{á}\pi \text{o}\tau o\mu \eta )$, az elvágás által keletkezett mennyiségek. Végre a 117. feladat azt az érdekes bizonyítást adja, hogy a négyzetben az átló összemérhetetlen az oldallal, vagyis hogy $\sqrt[]{2}$ irraczionális szám. A bizonyítás menete ugyanaz, mint a manapság szokásos bizonyításé; ha az átló: $d$ és az oldal: $a$ összemérhető volna, úgy a $\begin{array}{c}{\displaystyle d:a=m:n}\end{array}$ és ebből: $\begin{array}{c}{\displaystyle d^2:a^2=m^2:n^2}\end{array}$ érvényes; de továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle d^2:a^2=2:1}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m^2}{n^2}=2}\end{array}$ lenne; pedig már Plato is tudta, hogy nincs oly négyzetszám, mely egy másik négyzetszámnak éppen a kétszerese. (V. évf. 63. lap.)   Baumgartner Alajos.