Cím: Jegyzet az 537. számú feladathoz
Szerző(k):  Arany Dániel 
Füzet: 1899/március, 134 - 135. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A

x+y+z=0
alakú egyenletek gyöktelenítés után a következő alakot nyerik:
-x2-y2-z2+2xy+2yz+2zx=0,
mely egyenlet baloldala még a következő alakban írható: A
(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)(1)
Ezek alapján az adott egyenlet alakja a gyöktelenítés után a következő lesz:
a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2+
2a2{-(q-r)2+(r-p)2+(p-q)2}+2b2{-(q-r)2-(r-p)2+(p-q)2}+
+2c2(q-r)2+(r-p)2-(p-q)2+
(p-q)4+(q-r)4+(r-p)4-2(p-q)2(q-r)2-2(q-r)2(r-p)2-
-2(r-p)2(p-q)2=0.(2)

Az utolsó hat tag összege egyenlő zérussal, mert az (1) alatti kifejezés analógiájára négy tényezőből álló szorzat alakjában fejezhető ki, melynek első tényezője {(p-q)+(q-r)+(r-p)}=0.
Ha a,b,c-t egy háromszög három oldalának képzeljük, akkor a (2) alatti kifejezés hat első tagja =-16t2-tel, hol t alatt a háromszög területét értem.
Végre a középső három tag összege a következőképpen írható:
4a2(p-q)(p-r)+4b2(q-r)(q-p)+4c2(r-p)(r-q).
Ha végre az a2t,b2t,c2t kifejezések helyett az 1h1,1h2,1h3 vagyis az (a,b,c) háromszög három magasságának (h1,h2,h3) recziprok értékeit vezetjük be, a gyöktelenített egyenlet legegyszerűbb alakja lesz:
(p-q)(p-r)h12+(q-r)(q-p)h22+(r-p)(r-q)h32=1.

 
Arany Dániel.