A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Dinostratos. (Kr. e. IV. század.)
A platoi iskolában a delosi problemán kívül még a többi problémát is tanulmányuk tárgyává tették; ily módon Dinostratos, az iskola egyik tagja, Menaechmos testvére, a Hippias-féle görbét (V. évf. I. lap) tanulmányozva, annak igen érdekes új tulajdonságait fedezte fel, melyek a kör quadraturájára vonatkoznak s így ezek felhasználásával e problémát is egy lépéssel tovább vitte. A Hippias-féle görbénél a következő arányokat találta (l. 1. ábra) a pontból kiinduló körívekre és az pontból kiinduló megfelelő sugárrészekre vonatkozólag:
1. ábra
| | a hol a és és és pontok megfelelően a görbének pontjához tartoznak. Ez arányok természetesen ama és pontokból kiinduló vonalakra is érvényesek, melyek a görbének pontjához tartoznak; ez esetben a és pontok is az ponttal esnek össze, úgy hogy az aránylat ez: és mivel , úgy: Ily módon Dinostratos a negyedkörívet és a sugarat hozta be az aránylatba; az általános arányba pedig úgy hozott specziális értékeket, hogy a Hippias-féle görbének egy másik főpontját: a pontot választotta. Itt azonban nehézség támad, mert a ponthoz tartozó körív is meg az sugárrész is nullára fogy le és így e mennyiségek a nevezett arány megállapítására fel nem használhatók. Hogy azonban mily finom mathematikai érzék fejlődött már ki e korban, azt Dinostratosnak ama ügyes eljárása bizonyítja, mellyel e nehézséget kikerüli. Ez eljárás a megközelítés módszere, mely később hasonló esetekben egész mathematikai disciplinává fejlődött ki. E módszer a jelen esetben abban állt, hogy a görbének általános pontját nem helyezte rögtön a pontba, hanem csak ahhoz igen közel (1.2. ábra), miáltal a pont is igen közel jut a ponthoz és a pont is igen közel az ponthoz, úgy hogy a körív mindinkább az sugárral merőleges és -nel egyenlő egyenes vonalnak és a körív is az sugárra merőleges egyenes vonalnak tekinthető és pedig annál inkább, minél közelebb jut a pont a ponthoz.
2. ábra A arány ennélfogva a arányhoz közeledik. De az és hasonló derékszögű háromszögekből: Legyen és mivel , úgy | |
Ez aránylatnak a aránylattal való összevetéséből származik végre: miből: Dinosrtratos tehát az előbbi aránylat alapján egy igen könnyű szerkesztésben és egy igen egyszerű képletben, melyekben csak a kör sugara és a Hippias-féle görbe vonala szerepel, megadja a lehetőséget a negyedkör hosszának egyenes vonalban való meghatározására, végeredményben tehát a kör rektifikácziójára. A Hippias-féle görbe tehát a kör rektifikácziójára és ennélfogva az evvel összefüggésben álló (l. V. évf. 3-4. lap: Hippokrates) kör-quadraturára vezetett. Ennek alapján a Hippias-féle görbét Dinostratos óta latin fordításban quadratrix-nak nevezik. Azonban a probléma éleselméjű megoldása daczára is ismét kritikai szavunkat kell közbevetnünk. Dinostratos a negyedkör hosszának meghatározását oly távolságtól teszi függővé, mely tulajdonképpen meg sem szerkeszthető és ez: az távolság. A Hippias-féle görbének bármely pontját (l. 1. ábra) ugyanis az sugár az ennek megfelelő, a ponton átmenő és az sugárral párhuzamos vonalak metszéspontjai adják. Minél közelebb jut azonban a pont a ponthoz és vele együtt a megfelelő pont az ponthoz, annál hegyesebb és ennélfogva megbízhatatlanabb metszést adnak a nevezett vonalak, ha pedig a éppen beleesik a pontba és vele együtt a megfelelő pont az pontba, az sugár és az -ból kiinduló vonal összeesnek és így a keresett pont meg sem határozható, tehát az távolság meg nem szerkeszthető. Így tehát Dinostratos megoldása is igen érdekes elméleti összefüggéseket tár fel a körre vonatkozó két problémában, de gyakorlatilag elvégezhető szerkesztést ez sem nyújt. Budapest.
|
|