Cím: Vázlatok a mathematika történetéből 7. (Menaechmos)
Szerző(k):  Baumgartner Alajos 
Füzet: 1898/április, 149 - 151. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Menaechmos.
 
(Kr. e. IV. század.)

A platói iskolának majdnem összes mathematikai vizsgálódásai főképpen a delosi problémával állanak összefüggésben. Majd a probléma új tárgyalása, majd ismét az egyik tárgyalás révén felmerült új anyag és gondolatok gazdagítják a mathematika terén elért eredményeket. Menaechmosnak, a platói iskola egyik tagjának és Eudoxus tanítványának tevékenysége is ily irányban nyilatkozik, a mennyiben egyrészt a kúpot teszi tanulmányai tárgyává, másrészt eme tanulmányok eredményeit felhasználva, a delosi problemának két egészen új megoldását adja. A kúpra alkalmasint Archytas szerkesztésénél lett figyelmessé: valószínűleg annak ott előfrduló metszései érdekelték és ezek ösztönözhették őt, először a delosi problémától függetlenül, ezek tanulmányozására. Csakis az egyenes körkúpot vette tanulmányai alapjául és azon is csakis egy metszést tett, még pedig az alkotó vonalra merőleges sík metszését. Ily módon jutott a kúpszeletekre, melyek egész új tért nyitottak ismét a mathematika élénk fejlődésének. Mivel a kúpon csak egy metszést tett, a háromféle kúpszeletet csak úgy kapta meg, hogy háromféle kúpot metszett ily módon. Hogy egy kúpon is megkapható mind a háromféle kúpszelet, arra Menaechmos nem gondolt. E háromféle kúp származtatása czéljából abból indult ki, hogy a kúp az egyenlőszárú háromszögnek szimmetrikus tengelye körül való forgásából keletkezik; már most, a szerint, a mint ennek az egyenlőszárú háromszögnek csúcsszöge hegyes-, derék- vagy tompaszög, a szerint nevezte el a kúpot is hegyes-, derék- vagy tompaszögűnek és a szerint nyert is mindenkor az alkotóra merőleges sík metszése által ellipsist, parabolát vagy hyperbolát (l. 1. ábra).
 

 

1. ábra
 

Menaechmos tehát az egy metszés daczára is mind a háromféle kúpszeletet ismerte így meg, melyeket a kúp szerint, a melyen származnak, rendre hegyes-, derék- és tompaszögű kúpszeleteknek nevezett el; mind a hármat pedig a "Menaechmos-féle triadok" névvel jelölték meg; a még manapság is használt: ellipsis, parabola, hyperbola elnevezések ugyanis későbbi időkből valók.
Hogy Menaechmos mennyit tudott a kúpszeletek tanából, arról összefüggő adataink nincsenek, de hogy ismeretei nem voltak csekélyek, azt abból az eljárásból látjuk, a melyet a kúpszeleteknek a delosi problemára való alkalmazásában követett. Menaechmos is ebből az aránylatból indult ki:
a:x=x:y=y:b.
Az aránylat eme részéből:
a:x=x:y
ezt az egyenletet kapjuk: ax=x2, melynek értelmében bármely M pont (l. 2. ábra), a melyből egy OX tengelyre merőlegesen bocsátott vonal MM'=y és egy másik az előbbire merőleges OY tengelyre szintén merőlegesen bocsátott vonal MM'=x, okvetetlenül egy parabolán fekszik.
 

 

2. ábra
 

Az aránylat első és harmadik arányaiból:
a:x=y:b
viszont: xy=ab, mely egyenlet szerint az M pontnak egy hyperbolán kell feküdnie. Mivel a keresett M pontnak azonban mind a két egyenletnek kell megfelelnie, az csak a parabola és hyperbola metszési pontja lehet. Ha a<b, akkor az MM'=x lesz a keresett középarányos.
Menaechmos még egy második megoldást is adott az által, hogy az aránylat arányait más módon csoportosította. Ugyancsak az a:x=x:y aránylatot használta fel első aránylatnak, miáltal az előbb megbeszélt parabolát kapta; második aránylatul azonban az eredeti aránylat második és harmadik arányát vette:
x:y=y:b,
a miből y2=bx alapján egy másik parabolát nyert és ez esetben az M pont két parabolának az átmetszési pontja (l. 3. ábra), MM' pedig a keresett középarányos.
 

 

3. ábra
 

A kúpszeleteknek eme alkalmazása arra enged következtetni, hogy Menaechmos a kúpszeletek alaptulajdonságait behatóan ismerte; a delosi probléma tárgyalásának módja által pedig tulajdonképpen az analitikai geometria gondolatát pendítette meg elsőnek.
Budapest.
Baumgartner Alajos.