A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Menaechmos. (Kr. e. IV. század.) A platói iskolának majdnem összes mathematikai vizsgálódásai főképpen a delosi problémával állanak összefüggésben. Majd a probléma új tárgyalása, majd ismét az egyik tárgyalás révén felmerült új anyag és gondolatok gazdagítják a mathematika terén elért eredményeket. Menaechmosnak, a platói iskola egyik tagjának és Eudoxus tanítványának tevékenysége is ily irányban nyilatkozik, a mennyiben egyrészt a kúpot teszi tanulmányai tárgyává, másrészt eme tanulmányok eredményeit felhasználva, a delosi problemának két egészen új megoldását adja. A kúpra alkalmasint Archytas szerkesztésénél lett figyelmessé: valószínűleg annak ott előfrduló metszései érdekelték és ezek ösztönözhették őt, először a delosi problémától függetlenül, ezek tanulmányozására. Csakis az egyenes körkúpot vette tanulmányai alapjául és azon is csakis egy metszést tett, még pedig az alkotó vonalra merőleges sík metszését. Ily módon jutott a kúpszeletekre, melyek egész új tért nyitottak ismét a mathematika élénk fejlődésének. Mivel a kúpon csak egy metszést tett, a háromféle kúpszeletet csak úgy kapta meg, hogy háromféle kúpot metszett ily módon. Hogy egy kúpon is megkapható mind a háromféle kúpszelet, arra Menaechmos nem gondolt. E háromféle kúp származtatása czéljából abból indult ki, hogy a kúp az egyenlőszárú háromszögnek szimmetrikus tengelye körül való forgásából keletkezik; már most, a szerint, a mint ennek az egyenlőszárú háromszögnek csúcsszöge hegyes-, derék- vagy tompaszög, a szerint nevezte el a kúpot is hegyes-, derék- vagy tompaszögűnek és a szerint nyert is mindenkor az alkotóra merőleges sík metszése által ellipsist, parabolát vagy hyperbolát (l. 1. ábra).
1. ábra Menaechmos tehát az egy metszés daczára is mind a háromféle kúpszeletet ismerte így meg, melyeket a kúp szerint, a melyen származnak, rendre hegyes-, derék- és tompaszögű kúpszeleteknek nevezett el; mind a hármat pedig a "Menaechmos-féle triadok" névvel jelölték meg; a még manapság is használt: ellipsis, parabola, hyperbola elnevezések ugyanis későbbi időkből valók. Hogy Menaechmos mennyit tudott a kúpszeletek tanából, arról összefüggő adataink nincsenek, de hogy ismeretei nem voltak csekélyek, azt abból az eljárásból látjuk, a melyet a kúpszeleteknek a delosi problemára való alkalmazásában követett. Menaechmos is ebből az aránylatból indult ki: Az aránylat eme részéből: ezt az egyenletet kapjuk: , melynek értelmében bármely pont (l. 2. ábra), a melyből egy tengelyre merőlegesen bocsátott vonal és egy másik az előbbire merőleges tengelyre szintén merőlegesen bocsátott vonal , okvetetlenül egy parabolán fekszik.
2. ábra Az aránylat első és harmadik arányaiból: viszont: , mely egyenlet szerint az pontnak egy hyperbolán kell feküdnie. Mivel a keresett pontnak azonban mind a két egyenletnek kell megfelelnie, az csak a parabola és hyperbola metszési pontja lehet. Ha , akkor az lesz a keresett középarányos. Menaechmos még egy második megoldást is adott az által, hogy az aránylat arányait más módon csoportosította. Ugyancsak az aránylatot használta fel első aránylatnak, miáltal az előbb megbeszélt parabolát kapta; második aránylatul azonban az eredeti aránylat második és harmadik arányát vette: a miből alapján egy másik parabolát nyert és ez esetben az pont két parabolának az átmetszési pontja (l. 3. ábra), pedig a keresett középarányos.
3. ábra A kúpszeleteknek eme alkalmazása arra enged következtetni, hogy Menaechmos a kúpszeletek alaptulajdonságait behatóan ismerte; a delosi probléma tárgyalásának módja által pedig tulajdonképpen az analitikai geometria gondolatát pendítette meg elsőnek. Budapest.
|
|