Kezdőlap


Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből 6. (Eudoxus)
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1898/március, 117 - 120. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Eudoxus.

(408-355 Kr. e.)

Eudoxus Knidosban született 408-ban Kr. e. A mathematikában Archytas tanítványa lett; 23 éves korában Athenbe ment, a hol két hónapon át Plato tanítványa volt. Athenben való tartózkodása után egy évet és négy hónapot Egyiptomban töltött, hol ez időben Plato is tartózkodott, a kivel ott sűrűn érintkezett. 375 körül Kyzikosban a Márványtenger partján, a mai Panormában iskolát alapított, majd ismét sok tanítványával együtt újra Athenbe ment és ott is Platoval állt szoros kapcsolatban. Később azonban visszatért szülővárosába és ott meg is halt 355-ben.
Képzettsége sokoldalú volt, mert mint mathematikus, mint csillagász, mint orvos, mint filozófus és mint törvényhozó szerzett magának hírnevet; 370-ben törvénykönyvet is szerkesztett szülővárosa számára.
Mint Archytas tanítványa a pythagoreusi iskola neveltje, Eudoxus is behatóan tanulmányozta a számok közötti összefüggést, különösen két számnak a különböző középszámait illetőleg.
Az addig ismert számtani, mértani és harmonikus közepet Eudoxus így fejezi ki:

a számtani középnél

a - x = x - b

a mértani középnél

a : x = x : b

a harmonikus középnél

a : b = (a - x) : (x - b)

és mindegyik esetre egész számú megoldást is adott, így a számtani középre:

a = 3, b = 1, x = 2,

a mértanira:

a = 4, b = 1, x = 2

és a harmonikusra:

a = 6, b = 3, x = 4

. Törekvése azonban, úgy látszik, oda irányult, hogy két adott egész szám között fekvő bármely egész számot hozzon ezekkel bizonyos kapcsolatba; így pl. az említett alakokat még a következőkkel egészítette ki:

\begin{matrix} a : b = (x - b) : (a - x), \end{matrix}

mely összefüggés

a = 6

és

b = 3

esetében

x = 5

-öt ad középszámul; továbbá:

\begin{matrix} x : b = (x - b) : (a - x), \end{matrix}

a = 5

és

b = 2

esetében

x = 4

-et szolgáltatja középszámul; végre:

\begin{matrix} a : x = (x - b) : (a - x), \end{matrix}

ennél

a = 6

és

b = 1

esetében a középszám

x = 4

.
Eudoxus idejében ez utóbbi három összefüggésből kikerülő középszámokat mesotaet számoknak, a számtani, mértani és harmonikus közepeket pedig analogia-knak nevezték; Eudoxus előtt azonban csak a mértani közepet mondták analogiáknak és a számtani és harmonikus közepet mesotaetnek.
E helyen jegyzem meg, hogy eme összefüggésekhez később Temnoides és Euphranor még négy hasonló összefüggést csatoltak:

\begin{matrix} a : b = (a - b) : (x - b) \end{matrix}

\begin{matrix} a : b = (a - b) : (a - x) \end{matrix}

\begin{matrix} x : b = (a - b) : (x - b) \end{matrix}

\begin{matrix} x : b = (a - b) : (a - x) . \end{matrix}

Ezeknek egész számú megoldásai rendre a következők:

\begin{matrix} a = 9 és b = 6 esetében x = 8 \end{matrix}

\begin{matrix} a = 9 és b = 6 esetében x = 7 \end{matrix}

\begin{matrix} a = 7 és b = 4 esetében x = 6 \end{matrix}

\begin{matrix} a = 8 és b = 3 esetében x = 5. \end{matrix}

Eudoxus különben az arányoknak már egész általános tárgyalását adta meg, melyet később Euklides az "Elemek" czímű művének V. könyvében fejlesztett ki teljes rendszerré.
Mint igazi pythagoreust azonban inkább a geometria érdekelte Eudoxust; legfontosabb stereometriai tétele, melyet az ő nevéről is neveznek el, az, hogy a gúla harmadrésze a vele egyenlő alapú és magasságú hasábnak; ebbe valószínűleg a kúp és henger megfelelő összefüggését is belefoglalta. Kimondotta továbbá, hogy két gömb köbtartalma oly arányban áll egymással, mint sugaraiknak köbei.
Mint Plato híve viszont a delosi problémával ismerkedett meg. Annyit tudunk róla, hogy valamiféle megoldást adott e kérdésnek, de hogy az mi volt, arról semmiféle bővebb adatunk nincs, mert Eratosthenes (Kr.e.III. század) e problémáról összefoglalásképpen csak ezt mondja. Archytas a henger, Eudeoxus az ívvonalak, az Akadémia tanítványai pedig a kúpszeletek segélyével oldották meg e problémát. Hogy mik voltak azonban ezek az "ívvonalak", arról nem tudunk semmit.
Végre még említésre méltók azok a vonalak, melyeket Eudoxus maga fedezett fel; ő ezeket egy forgási felületen találta meg, mely úgy keletkezik, hogy egy körlap egy a síkjában, de a körön kívül fekvő egyenes körül forog. Ha e forgási testet egy a forgási tengellyel párhuzamos síkkal metsszük, oly metszési vonal keletkezik, melynek alakja a metsző síknak a tengelytől való távolsága szerint háromféle lehet. Ha a metsző sík a tengelytől távolabb fekszik, mint a forgó kör középpontja, ovalis, az ellipsishez hasonló görbe vonal származik. Ha a metsző sík a tengelyhez közelebb fekszik, mint a forgó kör középpontja, de még az egész övön megy keresztül, a görbe a középen behorpad. Végre, ha a sík annyira közeledik a tengelyhez, hogy az övet egy belső pontján éppen érinti, akkor egy 8-as alakú görbe vonal származik (1. ábra).

Ez utóbbit nevezte Eudoxus "hippoped"-nek, lóbékónak; ugyanis az ily alakú vonalat találták a legjobbnak a lovak jártatására, hogy azoknak mindkét oldalát egyenlően kiképezzék és azokat mindennemű fordulásra alkalmassá tegyék.
Hogy Eudoxus miért foglalkozott éppen e különös forgási testtel, azt nem tudjuk, de talán nem csalódunk, ha azt tartjuk, hogy Archytas szerkesztése hívta fel figyelmét e testre; ott ugyanis (l. V. évf. 82. 1. 2. ábra) az

O A

átmérőre rajzolt félkör az

O T

tengely körül való forgása közben ilynemű forgási testet ír le és az a görbe vonal, mely a hengerfelületen fekszik, tulajdonképpen ennek a forgási testnek és hengernek átmetszése.
Mint Plato tanítványa az aranymetszés problemája is foglalkoztatta Eudoxust. Az "aranymetszés" elnevezés különben későbbi keletű, abban az időben csak egyszerűen:

η' τ o μ η'

, a metszet volt a neve, mely név alatt azonban mindig ama bizonyos folytonos aránylat szerinti metszést értették. Az erre vonatkozó tételeket is az Euklides-féle "Elemek"-ben találjuk feldolgozva. (II. könyv, 11. feladat és XIII. könyv, 1-5. feladat.)

Budapest.

Baumgartner Alajos.