Kezdőlap


Cím:	A szorzás distributív elve
Szerző(k):	Dr. Anderko Aurél
Füzet:	1897/december, 64 - 66. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $a$ általános positív számot annyiszor adjuk önmagához, mint a mennyi egység $b$ positív mennyiségben van, akkor az $a b$ eredményt szorzatnak, az $a$ összeadandót szorzandónak, az összeadandók számát jelölő $b$ -t szorzónak nevezzük. A szorzandót meg a szorzót közösen tényezőknek mondjuk. Ha pedig két vagy több tagból álló algebrai mennyiséget egytagú vagy többtagú algebrai kifejezéssel szorzunk, akkor a többtagú algebrai kifejezéseket zárójelek közé szoktuk tenni. A zárójelek tehát kijelölik a tényezőket és eltűnnek a szorzás műveletének végrehajtása alkalmával. A zárójelek eltüntetése, azaz a szorzás végrehajtása pedig a distributiv elv szerint történik. Legyen az egyik tényező két positív tagból álló algebrai kifejezés $(a + b)$ , a másik egytagú positív mennyiség, akkor a szorzás fogalmából következik, hogy

\begin{matrix} (a+b)m & = & (a+b) & + & (a+b) & + & ... & + & (a+b). \\ 1 & 2 & m \end{matrix}

Az összeadás assotiatio és commutatio elve értelmében írhatjuk, hogy

\begin{matrix} (a + b) m = a + a + ... + a + b + b + ... + b \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} (a + b) m = a m + b m . \end{matrix}

(1)

Tehát két positív tagból álló algebrai kifejezést egytagú positív mennyiséggel úgy szorzunk, hogy a kéttagúnak minden tagját az egytagúval megszorozzuk és a részletszorzatokat összeadjuk.
Továbbá legyen mind a két tényező két positív tagból álló algebrai kifejezés:

(a + b) (m + n)

, akkor (1) szerint

\begin{matrix} (a + b) (m + n) = a (m + n) + b (m + n) \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (a + b) (m + n) = a m + a n + b m + b n . \end{matrix}

Hasonlóan nyerjük, hogy

\begin{matrix} (a + b + c) (m + n) = a m + a n + b m + b n + c m + c n \end{matrix}

és hogy

\begin{matrix} (a + b + c + ... + k) (m + n + p + ... + t) = a m + a n + a p + ... + a t \end{matrix}

\begin{matrix} + b m + b n + b p + ... + b t \end{matrix}

\begin{matrix} + c m + c n + c p + ... + c t \end{matrix}

\begin{matrix} ... ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... ... \end{matrix}

\begin{matrix} + k m + k n + k p + ... + k t . \end{matrix}

Vagyis több positív tagú algebrai kifejezést, több positív tagú algebrai kifejezéssel úgy szorzunk, hogy az egyik többtagúnak minden tagját külön-külön megszorozzuk a másik többtagúnak minden tagjával és a részletszorzatokat összeadjuk.
Ez a törvény azonban módosulni fog, ha a többtagú kifejezés positív és negatív mennyiségekből áll. Első dolgunk ilyenkor a részletszorzatok előjeleit eldönteni. E végre szükséges és elégséges

α)

két külömböző előjelű,

β)

két minus előjelű tényező szorzatát megvizsgálni.
Legyen

a

valamely positív és

- a

ugyanazon negatív mennyiség, akkor ezeknek összege identikusan zérus, azaz

\begin{matrix} a + (- a) \equiv 0. \end{matrix}

(2)

α

) Szorozzuk meg most a (2) alattit valamely

p

positív mennyiséggel, akkor

\begin{matrix} [a + (a - a)] p \equiv 0. \end{matrix}

vagyis az (1) alatti szerint

\begin{matrix} a p + (- a) p \equiv 0. \end{matrix}

Az azonosság baloldala azonban akkor és csak akkor zérus, ha a tagok előjelei különbözők. Az első tag határozottan positív,

+

előjelű, tehát a második tagnak kell feltétlenül negatívnak,

-

előjelűnek lennie, azaz

\begin{matrix} (- a) p = - a p . \end{matrix}

(3)

Tehát két külömböző előjelű tényező szorzata negatív (-előjelű).

β

) Szorozzuk meg most a (2) alattit valamely (-q) negatív mennyiséggel, akkor

\begin{matrix} [a + (- a)] (- q) \equiv 0 \end{matrix}

vagyis az (1) és (2) alattiak értelmében

\begin{matrix} - a q + (- a) (- q) \equiv 0. \end{matrix}

Az azonosság baloldala akkor és csak akkor zérus, ha a tagok előjelei különbözők. Az első tag előjele határozottan mínus, tehát a második tag előjelének kell feltétlenül plus előjelűnek lennie, azaz

\begin{matrix} (- a) (- q) = + a q . \end{matrix}

(4)

Ha ehhez még hozzávesszük, hogy

\begin{matrix} (+ a) (+ b) = + a b, \end{matrix}

akkor mondhatjuk, hogy két egyenlő előjelű tényező szorzata positív (+előjelű).
Végre ha a (3) és (4) alatti előjeltörvényeket tekintetbe vesszük, akkor a distributív elv a következően fog módosulni: Többtagú algebrai kifejezést többtagú algebrai kifejezéssel úgy szorzunk, hogy az egyik többtagúnak minden tagját megszorozzuk a másik többtagúnak minden tagjával és a részletszorzatokat saját jeleikkel összeadjuk.

Budapest.

Dr. Anderkó Aurél.