Kezdőlap


Cím:	Néhány számtani sor összegezése
Szerző(k):	Fuchs Károly
Füzet:	1897/szeptember, 5 - 7. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Határozzuk meg a következő sor összegét:

\begin{matrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 7 + 7 \cdot 8 + 8 \cdot 9. \end{matrix}

Ha e sort megszorozzuk és elosztjuk

3

-mal, úgy ered:

\begin{matrix} \frac{1}{3} (1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5 \cdot 3 + 5 \cdot 6 \cdot 3 + 6 \cdot 7 \cdot 3 + 7 \cdot 8 \cdot 3 + 8 \cdot 9 \cdot 3) . \end{matrix}

A zárójelben álló első két tag összege:

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3 (1 + 3) = 2 \cdot 3 \cdot 4. \end{matrix}

Adjuk ehhez a harmadik tagot:

\begin{matrix} 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 3 = 3 \cdot 4 (2 + 3) = 3 \cdot 4 \cdot 5 \end{matrix}

ezen eljárást megismételve:

\begin{matrix} 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 \cdot 5 (3 + 3) = 4 \cdot 5 \cdot 6 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 \cdot 5 \cdot 6 + 5 \cdot 6 \cdot 3 + 5 \cdot 6 (4 + 3) = 5 \cdot 6 \cdot 7 stb . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 7 + 7 \cdot 8 + 8 \cdot 9 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{3} . \end{matrix}

Tehát általánosan

\begin{matrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3} . \end{matrix}

2. Határozzuk meg e sor összegét:

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + 5 \cdot 6 \cdot 7 \end{matrix}

4

-gyel szorozva és osztva:

\begin{matrix} \frac{1}{4} (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4 + 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4 + 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 4) \end{matrix}

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 = 2 \cdot 3 \cdot 4 (1 + 4) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4 = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + 5 \cdot 6 \cdot 7 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4} \end{matrix}

vagy általánosan

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + ... + n (n + 1) (n + 2) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4} . \end{matrix}

3. Hasonlóképpen találjuk, hogy:

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}{5} . \end{matrix}

Alkalmazások. 1. A természetes számok négyzeteinek összege (lásd: K.M.L.IV. évf. 112. lap.).

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + ... + n^{2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + ... \end{matrix}

\begin{matrix} n (n + 1) - (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) = \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3} - \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n + 1)}{6} (2 n + 4 - 3) = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}

2. A természetes számok köbeinek összege. Minthogy

\begin{matrix} n (n + 1) (n + 2) = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} n^{3} = n (n + 1) (n + 2) - 3 n^{2} + 2 n \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \end{matrix}

\begin{matrix} + ... + n (n + 1) (n + 2) - 3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + + ... n^{2}) - \end{matrix}

\begin{matrix} - 2 (1 + 2 + 3 + ... + n) = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4} - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{3 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{2 n (n + 1)}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{n (n + 1)}{4} (n^{2} + 5 n + 6 - 4 n - 2 - 4) = \frac{n (n + 1)}{4} n (n + 1) = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} . \end{matrix}

3. A természetes számok negyedik hatványainak összege. Minthogy

\begin{matrix} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = n^{4} + 6 n^{3} + 11 n^{2} + 6 n \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} n^{4} = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) - 6 n^{3} - 11 n^{2} - 6 n \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + n (n + 1) (n + 2) (n + 3) - 6 (1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}) = \end{matrix}

\begin{matrix} - 11 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) - 6 (1 + 2 + 3 + ... + n) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}{5} - \frac{6}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2} - \frac{11}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - 3 n (n + 1) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{n (n + 1)}{30} (6 n^{3} + 9 n^{2} + n - 1) = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30} . \end{matrix}

Arad.

Fuchs Károly.