Kezdőlap


Cím:	A természetes számok négyzeteinek összege
Szerző(k):	Rátz László
Füzet:	1897/március, 112 - 113. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A természetes számok négyzeteinek összegét következőképpen határozhatjuk meg:

\begin{matrix} 1^{3} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 2^{3} = {(1 + 1)}^{3} = 1^{3} + 3. 1^{2} + 3.1 + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 3^{3} = {(2 + 1)}^{3} = 2^{3} + 3. 2^{2} + 3.2 + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 4^{3} = {(3 + 1)}^{3} = 3^{3} + 3. 3^{2} + 3.3 + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} {(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3. n^{2} + 3. n + 1. \end{matrix}

Adjuk össze az egymás alatt álló tagokat s vonjuk ki az egyenlet mindkét oldalából az

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} \end{matrix}

összeget, úgy ered:

\begin{matrix} {(n + 1)}^{3} = 3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) + 3 (1 + 2 + 3 + ... + n) + n + 1, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - \frac{3}{2} n (n + 1) - n - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6} \end{matrix}

vagy végre:

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}