Cím: Hol a hiba? (1896. október)
Füzet: 1896/október, 11 - 12. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

240. Hol a hiba? ABC ferdeszögű háromszögben meghúzzuk a magasságot CE-t, továbbá CD-t úgy, hogy ACD∢=DBC∢.
 
 

Jelöljük ABC háromszög területét T-vel, ACD háromszögét t-vel. Minthogy ABC és ACD háromszögek hasonlók, kapjuk, hogy:
T:t=CB¯2:CD¯2(1)

Minthogy továbbá a két háromszögnek közös magassága van, kapjuk, hogy:
T:t=AB:AD(2)
(1) és (2)-ből következik, hogy:
CB¯2:CD¯2=AB:AD
vagy
CB¯2:AB=CD¯2:AD.(3)
De
CB¯2=AC¯2+AB¯2-2AB×AE(4)
és
CD¯2=AC¯2+AD¯2-2AD×AE(5)
s így (3)-ból nyerjük, hogy
AC¯2+AB¯2-2AB×AEAB=AC¯2+AD¯2-2AD×AEAD
AC¯2AB+AB=AC¯2AD+AD
AC¯2AB-AD=AC¯2AD-AB
AC¯2-AB×ADAB=AC¯2-AD×ABAD

A számlálók egyenlők, tehát a nevezők is egyenlők s így
AB=AD
a mi lehetetlen. Hol követtük el a hibát?