Ha $ABC$ hegyesszögű háromszögben a magasságok talppontjait egyenesek által összekötjük, kapjuk az $A_1{B}_1{C}_1$ talpponti háromszöget, melynek számos érdekes tulajdonsága közül néhányat bemutatunk.

AD=C1D;AMC1 derékszögű háromszögben $C_{1}AM\sphericalangle +AM{C}_1\sphericalangle ={90}^{\circ }$, $A{C}_{1}D\sphericalangle +D{C}_{1}M\sphericalangle ={90}^{\circ }$, mely két egyenletből ‐ a baloldalakat egymással egyenlővé téve ‐ kapjuk: $\delta +AM{C}_1\sphericalangle =\delta +D{C}_{1}M\sphericalangle$, miből $AM{C}_1\sphericalangle =D{C}_{1}M\sphericalangle =\epsilon$, s így $C_{1}DM$ háromszög egyenlőszárú, tehát $C_{1}D=MD$; de elébb láttuk, hogy $C_{1}D=AD$, miért is $AD=DM$. Épp így bebizonyítható, hogy $EB=EM$ és $FC=FM$.

 

Azon kört, mely a háromszög magasságainak talppontjain $\left(A_1\mathrm{,}{B}_1\mathrm{,}{C}_1\right)$, az oldalak középpontjain $\left(A_2\mathrm{,}{B}_2\mathrm{,}{C}_2\right)$ és a magasságoknak a csúcsok felé eső részeinek középpontjain $\left(D\mathrm{,}E\mathrm{,}F\right)$ megy át, Feuerbach-féle körnek nevezzük.

 

5. A Feuerbach-féle kör átmérője $\left(2r\right)$ az eredeti háromszög köré írható kör sugarával $\left(R\right)$ egyenlő.
Bizonyítás. A 2. pontban láttuk, hogy a talpponti háromszög egyik oldala $a_1=a\text{cos}\alpha$; az ezen oldallal szemben fekő szög ${\alpha }_1={180}^{\circ }-2\alpha$; de $a=2R\text{sin}\alpha$ s így ${\alpha }_1=2R\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =R\text{sin}2\alpha$; másrészt a talpponti háromszögből ${\alpha }_1=2r\text{sin}\left({180}^{\circ }-2\alpha \right)=2r\text{sin}2\alpha$, s így $R\text{sin}2\alpha =2r\text{sin}2\alpha$, miből $R=2r$.

 

6. A talpponti háromszög a beírt háromszögek közül legkisebb kerületű. ^{${}^{*}$}
Bizonyítás. Legyen $EFG$ egy tetszés szerinti beírt háromszög, melynek egyik oldala a talpponti háromszög oldalát $P$ pontban metszi.

 

 

Ha $P$ pont tükörképe $BC$ oldalra nézve $Q$, úgy $Q{A}_1$ lesz $P{A}_1$-nek és $QE$ lesz $PE$-nek vele egyenlő tükörképe: $Q{A}_1$ egy egyenesbe esik $C_1{A}_1$-gyel, mert az eredeti háromszög oldalai a talpponti háromszög külső szögeit felezik. Legyen továbbá $P$ pont tükörképe $AC$ oldalra nézve $R$; akkor $R{B}_1$ a $P{B}_1$-nek és $RF$ a $PF$-nek tükörképe és $R{B}_1$ egy egyenesbe esik $B_1{C}_1$-gyel. Ha továbbá $R$-nek tükörképe $AB$ oldalra nézve $S$, úgy $S{C}_1$ lesz $R{C}_1$-nek képe; $S{C}_1$ pedig $C_1{A}_1$-gyel esik egy egyenesbe. Ha végre $F$ pontnak $AB$-re vonatkoztatott tükörképe $T$, úgy $STG$ törtvonal lesz $RFG$ törtvonal tükörképe. $SQ$ nem más, mint a talpponti háromszög kerülete $k$, mert:

$\begin{array}{c}{\displaystyle SQ=S{C}_1+C_1{A}_1+A_{1}Q=R{B}_1+B_1{C}_1+C_1{A}_1+A_{1}P=A_1{B}_1+B_1{C}_1+C_1{A}_1=k}\end{array}$

$STGEQ$ törtvonal pedig $EFG$ háromszög kerülete $K$, mert:

$\begin{array}{c}{\displaystyle STGEQ=ST+TG+GE+EQ=RF+FG+GE+EP=}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle =PF+FG+GE+EP=K}\end{array}$

$STG$ és $GEQ$ háromszögekben, két oldal összege nagyobb lévén a harmadiknál,

$\begin{array}{c}{\displaystyle ST+TG>SG}\end{array}$

és

$\begin{array}{c}{\displaystyle GE+EQ>GQ}\end{array}$

mely két egyenlőtlenségből:

$\begin{array}{c}{\displaystyle ST+TG+GE+EQ=K>SG+GQ\mathrm{.}}\end{array}$

De $SGQ$ háromszögből:

$\begin{array}{c}{\displaystyle SG+GO>SQ=k}\end{array}$

s így

$\begin{array}{c}{\displaystyle K>SG+GQ>k}\end{array}$

tehát

$\begin{array}{c}{\displaystyle K>k\mathrm{.}}\end{array}$

---

^{${}^{*}$} Lafremoire: "Problémes et théorémes de géometrie élémentaire.