Kezdőlap


Cím:	A Menelaos-féle tétel és alkalmazása
Szerző(k):	Visnya Aladár
Füzet:	1897/június, 148 - 151. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Menelaos^{$^{*}$}-féle tétel a Ceva-féle tételnek (l. K. M. L. II. évf. 94. lap) társtétele, mely a legtöbb esetben épp oly előnyösen alkalmazható három pontnak egy egyenesben való fekvésének kriteriumául, mint amaz akkor, ha azt akarjuk eldönteni valjon három egyenes egy pontban találkozik-e.
A tétel így szól: egy háromszög oldalait egy tetszés szerinti egyenessel metszve, az egyes oldalakon keletkező szeletek arányainak szorzata a positív egység. Ha az $a, b, c$ oldalakon keletkező metszéspontokat rendre $A_{1} B_{1}$ és $C_{1}$ -gyel jelöljük, úgy:

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = 1 \end{matrix}

a hol még megjegyzendő, hogy az egyes arányok előjele is tekintetbe veendő, a szerint a mint elemeik egyenlő vagy ellenkező irányúak.
A jelre való tekintet nélkül a tétel úgy is mondható ki, hogy három nem szomszédos szelet szorzata egyenlő a másik három nem szomszédos szelet szorzatával.
A tétel bizonyítása végett húzzunk az egyik, pl. a

C

csúcsból a metsző egyenessel párhuzamost, mely a szemben fekvő oldalt

M

pontban metszi.

Ekkor

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} = \frac{C_{1} B}{C_{1} M} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} \frac{B_{1} C}{B_{1} A} = \frac{C_{1} M}{C_{1} A} . \end{matrix}

E két egyenletet egymással szorozva:

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} = \frac{C_{1} B}{C_{1} A} \end{matrix}

a honnan a tétel:

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = 1. \end{matrix}

A szorzat jele azért positív, mert ha az egyes arányok közt negatívak is vannak, ezek száma mindig kettő. Valamely oldalon a szeletek aránya ugyanis akkor negatív, ha az egyenes a szorosabb értelemben vett oldalt, a két csúcs között levő részt metszi. Ha azonban a háromszög oldalait a csúcsok által határoltaknak tekintjük, úgy zárt idommal van dolgunk; zárt idomot pedig egyenes csakis páros számú pontokban metszhet. Az egyenes tehát a szorosabb értelemben vett oldalakat vagy egyáltalában nem metszi (mind a három arány positív) vagy két oldalt metsz és a harmadiknak megnyújtását (két arány negatív, egy positív).
Három pontban egy egyenesben való fekvése kriteriumául a tétel megfordítása szolgál, mely így fogalmazható: Ha három

(A_{1}, B_{1}, C_{1})

pont egy

A B C

háromszög oldalain úgy van elhelyezve, hogy a

6

szelet között

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = 1 \end{matrix}

összefüggés áll fenn, akkor e három pont egy egyenesen fekszik.
Ha ugyanis az

A_{1}

és

B_{1}

pontokat összekötő egyenes a harmadik oldalt nem

C_{1}

-ben, hanem egy ettől különböző

C'_{1}

pontban metszi, úgy ezen egyenes metszéspontjaira is érvényes a tétel, tehát:

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C'_{1} A}{C'_{1} B} = 1 \end{matrix}

a kettőt összehasonlítva

\begin{matrix} \frac{C'_{1} A}{C'_{1} B} = \frac{C_{1} A}{C_{1} B} \end{matrix}

s így látjuk, hogy a

C_{1}

és

C'_{1}

azonosak.
Alkalmazás: 1. Három kör három külső hasonlósági pontja, nemkülönben két belső és egy külső, egy egyenesbe esik.

Legyenek a körök középpontjai rendre

O_{1}, O_{2}, O_{3}

; sugarai

r_{1}, r_{2}, r_{3}

; külső hasonlósági pontjai

S_{12}, S_{23}, S_{31}

. Mivel a hasonlósági pontok a megfelelő centrálisokon vannak, az

O_{1} O_{2} O_{3}

háromszög az, melyre a tétel alkalmazható. Az egyes oldalakon keletkezett szeletek aránya, a mint az ismeretes:

\begin{matrix} \frac{S_{12} O_{1}}{S_{12} O_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{S_{23} O_{2}}{S_{23} O_{3}} = \frac{r_{2}}{r_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{S_{31} O_{3}}{S_{31} O_{1}} = \frac{r_{3}}{r_{1}} \end{matrix}

Szorzatuk:

\begin{matrix} \frac{S_{12} O_{1}}{S_{12} O_{2}} \cdot \frac{S_{23} O_{2}}{S_{23} O_{3}} \cdot \frac{S_{31} O_{3}}{S_{31} O_{1}} = \frac{r_{1} r_{2} r_{3}}{r_{1} r_{2} r_{3}} = 1. \end{matrix}

A belső hasonlósági pontok legyenek

S'_{12}, S'_{23}, S'_{13}

.
Egy egyenesben fekszenek ekkor egyrészt

\begin{matrix} S'_{12}, S'_{23}, S_{31} \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} S'_{23}, S'_{31}, S_{12} \end{matrix}

és

\begin{matrix} S'_{31}, S'_{12}, S_{23} \end{matrix}

Mutassuk meg a bizonyítást az első esetre.

A pontok ismét az

O_{1} O_{2} O_{3}

háromszög kerületén vannak elhelyezve, és a szeletek aránya

\begin{matrix} \frac{S'_{12} O_{1}}{S'_{12} O_{2}} = - \frac{r_{1}}{r_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{S'_{23} O_{2}}{S'_{23} O_{3}} = - \frac{r_{2}}{r_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{S'_{31} O_{3}}{S'_{31} O_{1}} = \frac{r_{3}}{r_{1}} \end{matrix}

Szorzatuk:

\begin{matrix} \frac{S'_{12} O_{1}}{S'_{12} O_{2}} \cdot \frac{S'_{23} O_{2}}{S'_{23} O_{3}} \cdot \frac{S_{31} O_{3}}{S_{31} O_{1}} = \frac{r_{1} r_{2} r_{3}}{r_{1} r_{2} r_{3}} = 1. \end{matrix}

2. Két-két magasság talppontjait összekötő egyenesek a háromszög harmadik oldalát oly pontokban metszik, melyek egy egyenesbe esnek.
Az

A_{2}, B_{2}, C_{2}

pontokat czélszerű lesz a talpponti háromszög oldalaihoz viszonyítani, bár az eredetiéihez is lehetne.
A bizonyításnál két esetet kell megkülönböztetnünk, a szerint a mint a háromszög hegyes-, vagy tompaszögű.
Ha a háromszög hegyesszögű, akkor az eredeti háromszög oldalai a talpponti háromszög külső szögfelezői, melyek a szemben fekvő oldalakat úgy metszik, hogy a szeletek egyenlő irányúak és arányuk egyenlő a mellettük fekvő oldalak arányával.

Tehát ha a talpponti háromszög oldalai

a_{1}, b_{1}, c_{1}

, úgy:

\begin{matrix} \frac{A_{2} B_{1}}{A_{2} C_{1}} = \frac{c_{1}}{b_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{B_{2} C_{1}}{B_{2} A_{1}} = \frac{a_{1}}{c_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{C_{2} A_{1}}{C_{2} B_{1}} = \frac{b_{1}}{a_{1}} \end{matrix}

Szorzatuk:

\begin{matrix} \frac{A_{2} B_{1}}{A_{2} C_{1}} \cdot \frac{B_{2} C_{1}}{B_{2} A_{1}} \cdot \frac{C_{2} A_{1}}{C_{2} B_{1}} = \frac{a_{1} b_{1} c_{1}}{a_{1} b_{1} c_{1}} = 1. \end{matrix}

Ha ellenben a háromszög pl.

A

-nál tompaszögű, akkor az

a

oldal külső szögfelezője az

A_{1} B_{1} C_{1}

talpponti háromszögnek, de

b

és

c

már belső szögfelezők; az utóbbiak által képezett szeletek tehát már ellenkező irányúak, és arányuk egyenlő a mellettük fekvő oldalak arányával, de negatív előjellel.

Tehát

\begin{matrix} \frac{A_{2} B_{1}}{A_{2} C_{1}} = \frac{c_{1}}{b_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{B_{2} C_{1}}{B_{2} A_{1}} = - \frac{a_{1}}{c_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{C_{2} A_{1}}{C_{2} B_{1}} = - \frac{b_{1}}{a_{1}} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{A_{2} B_{1}}{A_{2} C_{1}} \cdot \frac{B_{2} C_{1}}{B_{2} A_{1}} \cdot \frac{C_{2} A_{1}}{C_{2} B_{1}} = \frac{a_{1} b_{1} c_{1}}{a_{1} b_{1} c_{1}} = 1. \end{matrix}

Budapest.

Visnya Aladár.

^{$^{*}$}Menelaos,a híres mathematikus, K. u. 98 körül élt Alexandriában; Ceva, olasz mathematikus, élt a XVII. században.