Kezdőlap


Cím:	Egy érdekes geometriai tétel s néhány alkalmazása
Szerző(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1896/október, 8 - 11. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(H.C.E. Martus: Mathematikai feladatok.)

Ha az

A_{1} A_{2} A_{3}

háromszög síkjának bármely

P

pontjából az oldalakhoz

p_{1}, p_{2}, p_{3}

tetszés szerinti irányú távolságokat húzzuk s ezekhez a megfelelő csúcsokból

d_{1}, d_{2}, d_{3}

párhuzamosokat vonjuk, akkor mindig:

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{d_{1}} + \frac{p_{2}}{d_{2}} + \frac{p_{3}}{d_{3}} = 1. \end{matrix}

Megjegyzendő, hogy ez egyenlőség bal oldalán álló összeg bármely tagja pozitív vagy negatív, a szerint, a mint az arányt alkotó távolságok egyenlő vagy ellenkező irányúak.
A tétel bizonyítása legegyszerűbben területek összehasonlítása alapján eszközölhető, de a párhuzamos átszelők tételének gyakorlására is jó alkalmat nyújt.
Bizonyítás. Legyenek a

P

pontból induló távolságoknak a megfelelő oldalakra eső talppontjai:

P_{1}, P_{2}, P_{3}

s a csúcsokból induló megfelelő párhuzamosokéi:

A'_{1}, A'_{2}, A'_{3}

, úgy hogy:

\begin{matrix} A_{k} A'_{k} = d_{k}, P P_{k} = p_{k}, (k = 1, 2, 3) \end{matrix}

Képzeljük

P

pontból az oldalakra bocsátott merőlegeseket, melyeknek talppontjai

P_{1}, P_{2}, P_{3}

és a háromszög megfelelő magasságait, melyeknek talppontjai

A''_{1}, A''_{2}, A''_{3}

P A_{2} A_{3}

és

A_{1} A_{2} A_{3}

háromszögek területeinek aránya, egyenlő alapúak lévén, egyenlő a magasságok arányával, azaz:

\begin{matrix} \frac{P A_{2} A_{3}}{Δ} = \frac{P P'_{1}}{m_{1}} . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} P P'_{1} P_{1} Δ \sim A_{1} A_{1}'' A_{1}' Δ \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{P P'_{1}}{m_{1}} = \frac{P P'_{1}}{A_{1} A'_{1}} = \frac{p_{1}}{d_{1}} = \frac{P A_{2} A_{3}}{Δ} \end{matrix}

(1)

hol

Δ

az adott háromszög területe,

m_{1}

A_{2} A_{3}

oldalhoz tartozó magasság.
Teljesen hasonló okokból:

\begin{matrix} \frac{p_{2}}{d_{2}} = \frac{P A_{3} A_{1}}{Δ} \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} \frac{p_{3}}{d_{3}} = \frac{P A_{1} A_{2}}{Δ} \end{matrix}

(3)

Az (1), (2), (3) egyenlőségek összeadásából:

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{d_{1}} + \frac{p_{2}}{d_{2}} + \frac{p_{3}}{d_{3}} = \frac{P A_{2} A_{3} + P A_{3} A_{1} + P A_{1} A_{2}}{Δ} = 1, \end{matrix}

mert az egyenlőség jobb oldalán a számláló mindig az adott háromszög területe, algebrai összeg alakjában.
E tétel alapján a háromszögekre vonatkozó több geometriai igazság egyszerűen felírható.
a) Ha

P

a beírt kör középpontja és

P P_{k} = ρ

, akkor:

\begin{matrix} \frac{ρ}{m_{1}} + \frac{ρ}{m_{2}} + \frac{ρ}{m_{3}} = 1, vagy \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{3}} = \frac{1}{ρ} . \end{matrix}

P

a_{k}

oldalt és a másik kettő megnyújtását érintő kör középpontja:

\begin{matrix} - \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{3}} = \frac{1}{ρ_{1}}, \frac{1}{m_{1}} - \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{3}} = \frac{1}{ρ_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} - \frac{1}{m_{3}} = \frac{1}{ρ_{3}} \end{matrix}

egyenlőségek állanak, mert ez esetben

ρ_{k}

és

m_{k}

mindig ellenkező irányúak.
Ez egyenlőségekben foglalt igazságot szóval így fejezhetjük ki: a háromszög érintő körei bármelyikének görbülete egyenlő a magasságokkal, mint sugarakkal leírt körök görbületeinek algebrai összegével.
A három utolsó egyenlet összeadása pedig:

\begin{matrix} \frac{1}{ρ_{1}} + \frac{1}{ρ_{2}} + \frac{1}{ρ_{3}} = \frac{1}{ρ} \end{matrix}

egyenletre vezet, mely szerint a kívülről érintő körök görbületeinek összege egyenlő a beírt kör görbületével, vagy a mi egyre megy: a magasságokkal mint sugarakkal leírt körök görbületeinek összegével.
b) Ha

P

a körülírt kör középpontja és így:

\begin{matrix} P P'_{k} = \frac{a_{k}}{2} cot A_{k}, \end{matrix}

akkor:

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{2 m_{1}} cot A_{1} + \frac{a_{2}}{2 m_{2}} cot A_{2} + \frac{a_{3}}{2 m_{3}} cot A_{3} = 1. \end{matrix}

Ha ez egyenlőség bal oldalán minden tag számlálóját és nevezőjét

a_{k}

-val sokszorozzuk: tekintve, hogy

a_{1} m_{1} = a_{2} m_{2} = a_{3} m_{3} = 2 Δ

\begin{matrix} a_{1}^{2} cot A_{1} + a_{2}^{2} cot A_{2} + + a_{3}^{2} cot A_{3} = 4 Δ \end{matrix}

ered. A bal oldal egyes tagjai még így is írhatók:

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{sin A_{1}} a_{1} cos A_{1}, \frac{a_{2}}{sin A_{2}} a_{2} cos A_{2}, \frac{a_{3}}{sin A_{3}} a_{3} cos A_{3}, \end{matrix}

melyekben mint ismeretes:

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{sin A_{1}} = \frac{a_{2}}{sin A_{2}} = \frac{a_{3}}{sin A_{3}} = 2 r, \end{matrix}

a körülírt kör átmérője, minek tekintetbe vételével az előbbi egyenlet így alakul:

\begin{matrix} r (a_{1} cos A_{1} + a_{2} cos A_{2} + a_{3} cos A_{3}) = 2 Δ . \end{matrix}

Ez egyenlőség szerint a háromszög kétszeres területe egyenlő a körülírt kör sugara és a talpponti háromszög (beírható minimum kerületű háromszög) kerületéből alkotható derékszögű parallelogrammaéval.
Pécs.

Maksay Zsigmond,

főreáliskolai tanár.