Kezdőlap


Cím:	329. Mennyiségtani játékok (1897. március)
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1897/március, 109 - 112. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} A K.M.L. egyik legutóbbi számában olvastam nehány tréfás mennyiségtani bebizonyítást, s ez felbátorít arra, hogy sorozatukat folytassam. Igen szellemes és fogas kérdésekre akadni Rebiere: Mathématiques et Mathématiciens czímű munkájában, a "Mathesis' czímű belga folyóirat 1892. és 1893. évfolyamaiban. Az alábbiakban tárgyaltak közül némelyiket innét vettem, de vannak olyanok is, melyeknek eredetéről nem tudok beszámolni.
Most pedig arra figyelmeztetem a szíves olvasót, hogy innét kezdve ne higyjen el nekem semmit.
1. Bebizonyítom, hogy $100 = 1$ .
Legyen $a = 100, b = 101, c = 1$ .

\begin{matrix} a = b - c \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} = a b - a c \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} - a b = - a c \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} - a b + \frac{b^{2}}{4} = \frac{b^{2}}{4} - (b - c) c \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} - a b + \frac{b^{2}}{4} = \frac{b^{2}}{4} - b c + c^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {(a - \frac{b}{2})}^{2} = {(c - \frac{b}{2})}^{2} \end{matrix}

s mindkét oldalon négyzetgyököt vonván

\begin{matrix} a - \frac{b}{2} = c - \frac{b}{2} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a = c . \end{matrix}

Q.E.D.

2. Az összes számok egymás közt egyenlők. Ugyanis vegyünk fel két tetszés szerinti számot,

a

-t és

b

-t, melyek különbsége

= c

; tehát

\begin{matrix} a - b = c . \end{matrix}

Mindkét oldalon

(a - b)

-vel szorozván

\begin{matrix} a^{2} - a b - a b + b^{2} = a c - b c \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} - a b - a c = a b - b^{2} - b c \end{matrix}

\begin{matrix} a (a - b - c) = b (a - b - c) \end{matrix}

s a közös tényezővel való osztás után

\begin{matrix} a = b . \end{matrix}

Q.E.D.

3. Bebizonyítom, hogy

2 = - 1

.
Induljunk ki az alábbi evidens egyenlőségekből:

\begin{matrix} a + b = - c \end{matrix}

\begin{matrix} a + c = - b \end{matrix}

\begin{matrix} b + c = - a \end{matrix}

Összegük

\begin{matrix} 2 (a + b + c) = - (a + b + c) \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} 2 = - 1. \end{matrix}

Q.E.D.

4. A számok egyenlőségének egy másik bebizonyításánál a következő evidens föltevésből indulunk ki:

\begin{matrix} a^{2} - a^{2} = a^{2} - a^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} a (a - a) = (a + a) (a - a) \end{matrix}

(a - a)

-val egyszerűsítvén

\begin{matrix} a = a + a \end{matrix}

\begin{matrix} a = 2 a \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 1 = 2 \end{matrix}

s ha mindkét oldalon

1

-et hozzáadunk, akkor azt találjuk, hogy

2 = 3

3 = 4

stb.

5. Ha

a

nem egyenlő

b

-vel, a mit röviden így szokás jelölni:

a \neq b

, akkor

x - a \neq x - b

, tehát

{(x - a)}^{2} \neq {(x - b)}^{2}

. Ennélfogva az

\begin{matrix} {(x - a)}^{2} = {(x - b)}^{2} \end{matrix}

egyenlet lehetetlennek látszik. Ámde

\begin{matrix} x^{2} - 2 a x + a^{2} = x^{2} - 2 b x + b^{2}, \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a + b) . \end{matrix}

Így tehát a lehetetlennek mondott egyenletnek mégis van gyöke.

6. Adva van a következő egyenlet:

\begin{matrix} \frac{3 x - b}{3 x - 5 b} = \frac{3 a - 4 b}{3 a - 8 b} . \end{matrix}

Az egyenlőségi jel két oldalán álló tört kifejezések nem egyenlők az egységgel. Ismert tétel szerint, ha két egyenlő tört számlálóinak különbségét elosztjuk nevezőiknek különbségével, egy az adottakkal egyenlő törtet nyerünk. Ezt a mi esetünkben alkalmazván

\begin{matrix} \frac{3 x - 3 a + 3 b}{3 x - 3 a + 3 b} \end{matrix}

kifejezéshez jutunk, mely

= 1

; tehát az adott törtek mindegyike egyenlő az egységgel.

7. Nem igaz, hogy: ha két mennyiség egyenkint egyenlő egy harmadikkal, akkor azok egymás közt is egyenlők. Mert föltéve, hogy

\begin{matrix} \frac{x - a + c}{y - a + b} = \frac{b}{c}, \frac{x + c}{y + b} = \frac{a + b}{a + c} \end{matrix}

s ezen egyenlő törtekre a 6)-ban említett tételt alkalmazzuk, akkor

\begin{matrix} \frac{x - a - b + c}{y - a + b - c} = \frac{b}{c}, \frac{x - a - b + c}{y - a + b - c} = \frac{a + b}{a + c} \end{matrix}

tehát az eleinte idézett elv szerint

\begin{matrix} \frac{b}{c} = \frac{a + b}{a + c} \end{matrix}

a mi nyilván absurdum: hiszen ha a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazon mennyiséggel növelem, akkor értéke megváltozik.

8. A törtek egyenlőségére vonatkozó tételek egyáltalán érvénytelenek. Induljunk ki a következő egyenletből.

\begin{matrix} \frac{x + 1}{a + b + 1} = \frac{x - 1}{a + b - 1} . \end{matrix}

Vonjuk ki mindkét oldalon az 1-et következőképpen:

\begin{matrix} \frac{x + 1}{a + b + 1} - \frac{a + b + 1}{a + b + 1} = \frac{x - 1}{a + b - 1} - \frac{a + b - 1}{a + b - 1} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} \frac{x - a - b}{a + b + 1} = \frac{x - a - b}{a + b - 1} \end{matrix}

tehát két egyenlő számlálójú tört akkor is egyenlő értékű lehet, ha nevezőik különbözők.
Az adott egyenlet reciprok értékét tekintvén

\begin{matrix} \frac{a + b + 1}{x + 1} = \frac{a + b - 1}{x - 1} \end{matrix}

honnét hasonlóképpen

\begin{matrix} \frac{a + b + 1}{x + 1} - \frac{x + 1}{x + 1} = \frac{a + b - 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a + b - x}{x + 1} = \frac{a + b - x}{x - 1} \end{matrix}

s a megfordított értékekre térvén vissza

\begin{matrix} \frac{x + 1}{a + b - x} = \frac{x - 1}{a + b - x} \end{matrix}

vagyis két egyenlő tört értéke akkor is egyenlő lehet, ha számlálóik különbözőek.

Budapest,

Dr. Bozóky Endre.

^{$^{*}$}Kérjük az egyes bizonyításokban előforduló hibák megjelölését.