Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből 2. (A babyloniak)
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1896/november, 25. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A babyloniak.   Nagy műveltségű nép lakott az Euphrat és Tigris alföldjén: a babyloniak. Főképpen az Euphrat folyó rendszeres kiömlése őket is arra kényszerítette, hogy védekezésükre töltéseket, csatornákat, sőt még a víz felfogására egy nagy tavat is létesítsenek. Élénk kereskedelmük és iparuk könnyítésére terjedelmes hajózható csatorna-hálózatot is alkottak. Ily óriási technikai munkák, továbbá magas fokon álló építészetük elég anyagot adott a mathematikai tudományok tanulmányozására és alkalmazására. Ehhez járul még vallásuk is, mely szerint az istenséget személyesített természeti erőnek tekintették, és melynek tiszteletére a papjaik szintén természeti tüneményeket és tárgyakat vontak bele a kultuszba. Időjárás, földrengés, nap- és holdfogyatkozások voltak megfigyeléseik tárgyai. Mindezekkel összeköttetésben pedig igen beható csillagászati megfigyeléseket tettek s így nagymérvű csillagászati ismeret birtokába jutottak. Így tehát nem meglepő, hogy már legrégibb időkben is teljesen kifejlődött számrendszereik voltak. Számrendszereik; mert kettő is volt. A közéletben dekadikus számrendszerük volt, épp olyan, mint az egyiptomiaknak. Az egység egy függélyes ék, a tizes egy nyílhegyforma jel, a százas egy függélyes és egy vízszintes ék egymás mellett; az ezres 10-szer száz értelmében a tízes (nyílhegy) és a százas (függélyes és vízszintes ék) jeléből, a tízezres pedig tízszer-tízszer száz értelmében két tizes és a százas jeléből állott.     Volt azonban még egy más számrendszerük is; úgy látszik, ez volt a mathematikusoké és csillagászoké, tehát a papságé. Elmondom most azt, hogyan jutottak rá e számrendszer ismeretére csak a legújabb időben. 1854-ben Loftus angol geológus az Euphrat melletti Senkereh városánál két kis, égetett agyagból való táblát talált, mindkét oldaluk tele ékírással. Szakértők azt állapították meg, hogy a táblák a Kr. e. 2300 és 1600 közötti korszakból valók. Az egyik tábla elő- és hátlapján összesen 60 sor van. Mindegyik sorban a sor elején és végén számok vannak, közöttük pedig szöveg, melyben mindenhol az "ibdi" szó fordul elő. Rájutottak hamar, hogy ez a szó annyit jelent, mint: négyzet, és hogy a 60 sor nem tartalmaz egyebet, mint rendre a 60 első számnak a négyzetét. Úgy, hogy a tábla kezdő sorainak értelme ez: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\text{négyzete az}1\text{-nek}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\text{négyzete a}2\text{-nek}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 9\text{négyzete a}3\text{-nak}\mathrm{,}}\end{array}$ a hetedik sornak: $\begin{array}{c}{\displaystyle 49\text{négyzete az}7\text{-nek}\mathrm{.}}\end{array}$ A következő soroknak ezeknek kellene most lenniök: $\begin{array}{c}{\displaystyle 64\text{négyzete a}8\text{-nak}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 81\text{négyzete a}9\text{-nek}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 100\text{négyzete a}10\text{-nek}}\end{array}$ s.i.t. Ezek helyett pedig e megfelelő sorok ilyenek. $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}4\text{négyzete a}8\text{-nak}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}21\text{négyzete a}9\text{-nek}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}40\text{négyzete a}10\text{-nek}\mathrm{.}}\end{array}$ Hincks, angol assziriologus adta meg e jelzés magyarázatát: a bal oldalt álló $1$ nem az egység, hanem helyértékénél fogva egy új, nagyobb egység: a hatvanas és e számkifejezések így értendők: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}4=\left(1\times 60\right)+4=64}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}21=\left(1\times 60\right)+21=81}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}40=\left(1\times 60\right)+40=100.}\end{array}$ Az utolsó előtti sor pedig ilyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{58,}1\text{négyzete az}59\text{-nek,}}\end{array}$ a melynél tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{58,}1=\left(58\times 60\right)+1=3481.}\end{array}$ A tábla utolsó sora ez: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\text{négyzete az}1\text{-nek}\mathrm{.}}\end{array}$ Hogyan kerül ez ide az $59$ négyzete után? Ennek megfejtését csak a második tábla tanulmányozása tette lehetővé. E tábla egyik oldalán két különböző mértékrendszer összehasonlítása van feljegyezve; ez most bennünket nem érdekel. Foglalkozzunk a tábla másik oldalával. Itt $32$ sort találunk, éppen úgy elrendezve, mint az előbb leírt táblán a számok négyzetei. E sorokban minden sorban a "badie" szerepel, ez annyit jelent, mint: köb; a $32$ sor pedig a $32$ első számnak a köbét foglalja táblázatban, ilyformán: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\text{köbe az}1\text{-nek}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 8\text{köbe a}2\text{-nek}\mathrm{,}}\end{array}$ később: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{56,}15\text{köbe a}15\text{-nek};}\end{array}$ ezt már ismerjük, tudjuk, hogy ezt jelenti: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{56,}15=\left(56\times 60\right)+15=3375.}\end{array}$ A $16$. sor azonban ilyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{8,}16\text{köbe a}16\text{-nak}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek magyarázata ez: ismét új nagyobb egység lép fel, balra menve a harmadik helyen, mint $3600$-as, úgy hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{8,}16=\left(1\times 3600\right)+\left(8\times 60\right)+16=4096.}\end{array}$ Látjuk tehát, hogy egy következetesen kifejlesztett $60$-as számrendszerrel van dolgunk, a melyben a megfelelő egység nagyságát a helyérték határozza meg. E számrendszer tehát elvre nézve, a helyértékek tekintetében, előfutárja a mienknek. De még egy érdekes dolog van hátra; a $30$. sor ez: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{7,}30\text{köbe a}30\text{-nak}\mathrm{.}}\end{array}$ Itt nem lehet a $7$-nek helyértéke $3600$ és a $30$-é egyes, mert ez nem felel meg; ennek értelme ez: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{7,}30=\left(7\times 3600\right)+\left(30\times 60\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből viszont az tűnik ki, hogy ha valamely helyérték hiányzik, azt nem pótolták a zéró jelével, hanem ily esetben az olvasó dolga kitalálni, hogy mindegyik számnak mi a helyértéke. E felvilágosítás után most már a négyzetek tábláján az utolsó sort: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\text{négyzete az}1\text{-nek}}\end{array}$ így fogjuk értelmezni: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1\times 3600\right)\text{négyzete az}\left(1\times 60\right)\text{-nek};}\end{array}$ csak ez illik be az $59$. sor után. Törtekkel való számításaiknak szintén a hatvanas, egyes esetekben a hatos beosztás az alapja. Kiválóan a hatodok: $\frac{1}{6}\mathrm{,}\frac{1}{3}\mathrm{,}\frac{1}{2}\mathrm{,}\frac{2}{3}\mathrm{,}\frac{5}{6}$ jelölése mutatható ki. Sokat foglalkoztak a mathematikusok avval a kérdéssel, miért alkottak a babyloniak éppen hatvanas rendszert, holott a tizes rendszer használata közelebbfekvő, mivel tíz ujjunk van, az ujjak pedig mindenkor igen fontos szerepet játszanak a számolásban; igazolja ezt, hogy majdnem minden nép tizes számrendszert alkotott, de még maguk a babyloniak is, mint erről már előbb szó volt. Miért vettek fel a papok külön rendszert? Úgy látszik, ez is a csillagászattal áll összefüggésben: a papok ugyanis az évet $360$ napúnak hitték és ebből kifolyólag a kört is $360$ részre (fokra) osztották, hogy így minden rész egy-egy napnak feleljen meg. A sugár segélyével a kört $6$ egyenlő részre tudták már osztani és az ily alapon nyert rész, mely tehát az egész körvonalnak $\frac{1}{360}$ részéből $60$-at foglalt magában, lett az egység. Talán ily módon jutott a $60$-as ahhoz a kiváló szerephez. E helyen mindjárt áttérek a geometriára, mert ez éppen itt alkalomszerű. A babyloniak így okoskodtak: a sugár felosztja a kört $6$ egyenlő részre, tehát a körvonal hossza $6$-szor akkora, mint a sugáré vagy pedig $3$-szor akkora, mint az átmérőé; a $\pi$ tehát náluk egyszerűen: $3$ volt. Nyilvánvanló, hogy összetévesztették a körív és az ahhoz tartozó húr hosszát, illetőleg emez helyett amazt vették. Érdekes, hogy a bibliában is találunk helyre, mely erre vonatkozik: Salamon királyról van szó, ki a templomba egy nagy fémedényt állíttatott, melyet "öntött tenger"‐nek neveztek. A méreteire nézve a Királyok Könyvében (VII. 23.) és a Krónika II. könyvében (IV.2.) ezt találjuk: "Csinála annak felette egy öntött tengert is, mely egyik szélétől fogva a másik széléig tíz singnyi vala, köröskörül kerekded vala, és a magassága öt sing vala, és a kerületit harmincz sing zsinór éri vala bé." A $pi$-vel tehát röviden bántak el; a Talmud is egész tétetelszerűen ezt mondja: "A mi kerületében $3$ kézszélességnyi, a szélességében $1$ kézszélességnyi". A geometriából különben ismerték a párhuzamos vonalakat, a három- és négyszögeket, a körbe írt szabályos hatszög oldalának és a kör sugarának egyenlő voltát és tudtak pontosan derékszöget szerkeszteni. Lehetséges, hogy a $\mathrm{3,}\mathrm{4,}5$ egységnyi oldalú derékszögű háromszöget is ismerték. Meglepő azonban mindenesetre a sok csillagászati ismeret, a mi arra mutat, hogy kiváló gonddal és kitartással figyelték meg a csillagokat, továbbá a nap és a hold járását meg a nap- és holdfogyatkozásokat. Egy Kr. e. 763. évi napfogyatkozás fel volt jegyezve az állami irattárban. A hold járását kiváló pontossággal figyelték meg; megállapították, hogy $223$ holdmegújulásnak megfelel $19$ év, a hold naponkinti eltérését ${13}^{\circ }10\text{'}35\text{'}\text{'}$-nyi szögnek figyelték meg, oly érték, mely a másodperczekig pontos. Úgy látszik, még a föld kerületét is körülbelülre ismerték, a melyet különben belül üresnek és féltojás alakúnak képzeltek. Egy csillagászati munkát találtak, mely Sargon király idejéből, tehát a Kr. e. 1700 körüli időből való.- Úgy látszik a $7$ napnak egy hétté való összefoglalása is tőlük való. A napot, a hatvanas rendszerhez híven, alkalmasint $60$ órára osztották. Ezeken kívül a mennyiségek mérésére számos mértékegységet állapítottak meg. Budapest. Baumgartner Alajos.