Kezdőlap


Cím:	A helymeghatározásról a síkban 2.
Szerző(k):	Arany Dániel
Füzet:	1895/december, 58 - 60. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A helymeghatározásról a síkban.

(Második közlemény.)

A következőkben a tanult módszereket néhány egyszerűbb feladat megoldására kívánom alkalmazni.
A.

1.

Adva vannak két pont koordinátái:

a_{1}, a_{2}, a_{3},; b_{1}, b_{2}, b_{3};

kerestetik a két ponton keresztül menő egyenes egyenlete. Az egyenes általános egyenlete mint láttuk, a következő volt:

\begin{matrix} τ_{1} x_{1} + τ_{2} x_{2} + τ_{3} x_{3} = 0 \end{matrix}

(1)

Ha ezen egyenlet által ábrázolt egyenes keresztül megy az

A (a_{1} a_{2} a_{3})

és

B (b_{1} b_{2} b_{3})

pontokon, akkor ezek koordinátái a fenntebbi egyenletbe helyettesítve, azt azonosan egyenlítik a zérussal. Vagyis:

\begin{matrix} τ_{1} a_{1} + τ_{2} a_{2} + τ_{3} a_{3} = 0 \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} τ_{1} b_{1} + τ_{2} b_{2} + τ_{3} b_{3} = \end{matrix}

(3)

Ha az

(1), (2)

és

(3)

-ból kiküszöböljük a

τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}

értékét az

A B

egyenes egyenletét nyerjük; a kiküszöbölés eredménye a következő determináns-egyenlet:

\begin{matrix} | \begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

vagy részletesebben:

\begin{matrix} (a_{2} b_{3} - b_{2} a_{3}) x_{1} + (a_{3} b_{1} - b_{3} a_{1}) x_{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) x_{3} = 0 \end{matrix}

2.

Ha két háromszög,

A B C

és

A' B' C'

, ugyanazon betűvel jelzett szögpontjainak összekötő egyenesei egy pontban

S

-ben találkoznak, akkor egynevű oldalaik metszéspontjai:

S_{1} \equiv (B C, B' C'), S_{2} \equiv (C A, C' A'), S_{3} \equiv (A B, A' B')

egy egyenesben,

s

-ben metszik egymást.
Válasszuk az

A' B' C'

háromszöget koordináta-háromszögül és az

S

pontot egységpontul. Minthogy az

A' B' C'

pontok koordinátái rendre:

\begin{matrix} \begin{matrix} a' & 0 & 0 \\ 0 & b' & 0 \\ 0 & 0 & c' \end{matrix} \end{matrix}

S A', S B', S C'

egyenesek egyenletei a következők lesznek:

\begin{matrix} x_{2} - x_{3} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} - x_{1} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} - x_{2} = 0 \end{matrix}

A, B, C

pontok koordinátái ekkor:

\begin{matrix} a_{1}, a_{2} = a_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} b_{2}, b_{3} = b_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} c_{3}, c_{1} = c_{2} \end{matrix}

A B', B' C', C' A'

egyenesek egyenletei:

\begin{matrix} x_{3} = 0, x_{1} = 0, x_{2} = 0 \end{matrix}

és az

A B, B C, C A

egyenesekéi:

\begin{matrix} x_{1} a_{2} (b_{3} - b_{2}) + x_{2} b_{3} (a_{3} - a_{1}) + x_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{1}) + x_{2} c_{3} (c_{1} - c_{3}) + x_{3} c_{1} (b_{3} - b_{2}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} a_{2} (c_{1} - c_{3}) + x_{2} (c_{3} a_{1} - c_{1} a_{2}) + x_{3} c_{1} (a_{2} - a_{1}) = 0 \end{matrix}

S_{1}, S_{2}, S_{3}

pontok koordinátái tehát:

\begin{matrix} 0, - λ c_{1} (b_{3} - b_{2}), λ b_{3} (c_{1} - c_{3}); \end{matrix}

\begin{matrix} μ c_{1} (a_{2}, - a_{1}), 0, μ a_{2} (c_{1} - c_{3}); \end{matrix}

\begin{matrix} - ν b_{3} (a_{2} - a_{1}), ν a_{2} (b - 3 - b_{2}), 0; \end{matrix}

s a feltétele annak, hogy e három pont egy egyenesben feküdjék a következő determináns-egyenlet:

\begin{matrix} | \begin{matrix} 0 & - λ c_{1} (b_{3} - b_{2}) & λ b_{3} (c_{1} - c_{3}) \\ μ c_{1} & (a_{2} - a_{1}) & μ a_{2} (c_{1} - c_{3}) \\ - ν b_{3} & (a_{2} - a_{1}) & ν a_{2} (b_{3} - b_{2}) \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

vagy részletesebben:

\begin{matrix} μ ν λ c_{1} a_{2} b_{3} (a_{2} - a_{1}) (b_{3} - b_{2}) (c_{1} - c_{3}) - \end{matrix}

\begin{matrix} - ν λ μ b_{3} c_{1} a_{2} (a_{2} - a_{1}) (b_{3} - b_{2}) (c_{1} - c_{3}) \equiv 0, \end{matrix}

mely kifejezésről rögtön szembetűnő, hogy azonosan egyenlő a zérussal.

1' .

Adva vannak két egyenes koordinátái:

α_{1}, α_{2}, α_{3},; β_{1}, β_{2}, β_{3};

kerestetik a két egyenes metszéspontjának egyenlete.
A pont általános egyenlete mint láttuk, a következő volt:

\begin{matrix} x_{1} τ_{1} + x_{2} τ_{2} + x_{3} τ_{3} = 0 \end{matrix}

(1)

Ha az ezen egyenlet által ábrázolt ponton keresztül mennek az

α (α_{1} α_{2} α_{3})

és

β (β_{1} β_{2} β_{3})

egyenesek, akkor ezek koordinátái a fenntebbi egyenletbe helyettesítve, azt azonosan egyenlítik a zérussal. Vagyis:

\begin{matrix} x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + x_{3} α_{3} = 0 \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x_{1} β_{1} + x_{2} β_{2} + x_{3} β_{3} = 0 \end{matrix}

(3)

Ha az

(1), (2)

és

(3)

-ból kiküszöböljük a

x_{1}, x_{2}, x_{3}

értékeket az

(α β)

pont egyenletét nyerjük; a kiküszöbölés eredménye a következő determináns-egyenlet:

\begin{matrix} | \begin{matrix} τ_{1} & τ_{2} & τ_{3} \\ α_{1} & α_{2} & α_{3} \\ β_{1} & β & β_{3} \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

vagy részletesebben:

\begin{matrix} (α_{2} β_{3} - β_{2} α_{3}) τ_{1} + (α_{3} β_{1} - β_{3} α_{1}) τ_{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (α_{1} β_{2} - β_{1} α_{2}) τ_{3} = 0 \end{matrix}

2' .

Ha két háromszög,

A B C

és

A' B' C'

, ugyanazon betűvel jelzett oldalainak metszéspontjai egy egyenesben

s

-ben feküsznek, akkor egynevű szögpontjainak összekötő egyenesei:

s_{1} \equiv A A', s_{2} \equiv B B', s_{3} \equiv C, C'

egy pontban,

S

-ben találkoznak.
Válasszuk az

A' B' C'

háromszöget koordináta-háromszögül és az

s

egyenest egység-egyenesül. Minthogy az

a' b' c'

oldalok koordinátái rendre:

\begin{matrix} \begin{matrix} α' & 0 & 0 \\ 0 & β' & 0 \\ 0 & 0 & γ' \end{matrix} \end{matrix}

(s a'), (s b'), (s c')

pontok egyenletei a következők lesznek:

\begin{matrix} τ_{2} - τ_{3} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} τ_{3} - τ_{1} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} τ_{1} - τ_{2} = 0 \end{matrix}

a, b, c

egyenesek koordinátái ekkor:

\begin{matrix} α_{1}, α_{2} = α_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} β_{2}, β_{3} = β_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} γ_{3}, γ_{1} = γ_{2} \end{matrix}

C', A', B'

pontok egyenletei:

\begin{matrix} τ_{3} = 0, τ_{1} = 0, τ_{2} = 0 \end{matrix}

és a

C, A, B

pontokéi:

\begin{matrix} τ_{1} α_{2} (β_{3} - β_{2}) + τ_{2} β_{3} (β_{2} - β_{1}) + τ_{3} (α_{1} β_{2} - α_{2} β_{2}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} τ_{1} (β_{2} γ_{3} - β_{3} γ_{1}) + τ_{2} β_{3} (γ_{1} - γ_{3}) + τ_{3} γ_{1} (β_{3} - β_{2}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} τ_{1} α_{2} (γ_{1} - γ_{3}) + τ_{2} (γ_{3} α_{1} - γ_{1} α_{2}) + τ_{3} γ_{1} (α_{2} - α_{1}) = 0 \end{matrix}

s_{1}, s_{2}, s_{3}

egyenesek koordinátái tehát:

\begin{matrix} 0, - λ γ (β_{3} - β_{2}), λ β_{3} (γ_{1} - γ_{3}); \end{matrix}

\begin{matrix} μ γ_{1} (α_{2} - α_{1}), 0, μ α_{2} (γ_{1} - γ_{3}); \end{matrix}

\begin{matrix} - ν β_{3} (α_{2} - α_{1}), ν α_{2} (β_{3} - β_{2}), 0; \end{matrix}

s a feltétele annak, hogy e három egyenes egy pontban találkozzék a következő determináns-egyenlet:

\begin{matrix} | \begin{matrix} 0 & - λ γ (β_{3} - β_{2}) & λ β_{3} (γ_{1} - γ_{3}) \\ μ γ_{1} (α_{2} - α_{1}) & 0 & - μ α_{2} (γ_{1} - γ_{3}) \\ - ν β_{3} (α_{2} - α_{1}) & ν α_{2} (β_{3} - β_{2}) & 0 \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

vagy részletesebben:

\begin{matrix} μ ν λ γ_{1} β_{3} (α_{2} - α_{1}) (β_{3} - β_{2}) (γ_{1} - γ_{3}) - \end{matrix}

\begin{matrix} - ν λ μ β_{3} γ_{1} α_{2} (α_{2} - α_{1}) (β_{3} - β_{2}) (γ_{1} - γ_{3}) \equiv 0 \end{matrix}

mely kifejezésről rögtön szembetűnő, hogy azonosan egyenlő a zérussal.

Arany Dániel