Kezdőlap


Cím:	A helymeghatározásról a síkban 1.
Szerző(k):	Arany Dániel
Füzet:	1895/november, 42 - 46. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az analytikai geometria alapproblemája egy pont (vagy bármely más térelem helyzetét számok segítségével úgy jellemezni, hogy ezen pont minden más ponttól világosan megkülömböztethető legyen. Azaz, ha egy pont helyzete bárminemű feltételek alapján egyértelműen meg van határozva, ezen feltételekből leszármaztatható legyen a számoknak egy bizonyos rendszere, melyben úgy az elemek száma, valamint azok sorrendje ismeretes és megfordítva, ha az elemek száma és sorrendje által meghatározott rendszere a számoknak van adva, ezek egy és csak egy pont helyzetét jellemezzék.
A pont helyzetének ilynemű meghatározását a síkban Descartes azáltal érte el, hogy felvett benne két egymást metsző egyenest

X O' X

és

Y' O Y

-t és egy adott

P

pont helyzetét akkép jellemezte, hogy megadta a

P

pontból az

X O' X

és

Y' O Y

egyenesekkel párhuzamosan húzott egyeneseken

P' P

és

P'' P

hosszak mérőszámait (tetszésszerinti mértékegységben), hol

P'

és

P''

e párhuzamosak és az eredeti egyenes rendszer metszéspontjait jelentették. Viszont két tetszésszerinti

x

és

y

szám (a felírt sorrendben) a mértékegység megválasztása után meghatározott két hosszúságot, melyek elsejét az

X' O X

egyenesre, másikát az

Y' O Y

egyenesre az

O

ponttól számítva felvitte és így két pontot

P''

és

P'

-et nyert, melyekből az

Y' O Y

-t és

X O' X

egyenesekkel párhuzamosat húzva, az

x

és

y

számok által jellemzett pontot ezen párhuzamosak metszéspontja gyanánt nyerte.
A következő sorok czélja megismertetni azon általánosabb módszereket, melyek sgítségével egy pont vagy egyenes helyzete a síkban a fennt említett alapprobléma értelmében meghatározható.

II.

A. Képzeljünk a síkban négy pontot

A, B, C

és

E

-t adva, melyek közül bármely három sem esik egy egyenesbe. Jeleljük továbbá az

A E, B E

és

C E

egyenesek metszéspontjait rendre a

B C, C A

és

A B

egyenesekkel

E_{1}, E_{2}

és

E_{3}

-mal. Ekkor a sík bármely ötödik

P

pontja meghatároz az alább leírandó módszer segítségével

3

számot, melyek a

P

pont koordinátáinak nevezhetők. A módszer a következő: Jeleljük az

A P, B P

és

C P

egyenesek metszéspontjait a

B C, C A

és

A B

egyenesekkel rendre

P_{1}, P_{2}

és

P_{3}

-mal. Legyen továbbá

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = \frac{B E_{1}}{C E_{1}} : \frac{B P_{1}}{C P_{1}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (C A E_{3} P_{2}) = \frac{C E_{3}}{A E_{2}} : \frac{C P_{2}}{A P_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (A B E_{3} P_{3}) = \frac{A E_{3}}{B E_{3}} : \frac{A P_{3}}{B P_{3}} . \end{matrix}

Ha most az

E

és

P

pontok távolságait a

B C, C A

és

A B

egyenesektől rendre

e_{1}, e_{2}

és

e_{3}, p_{1}, p_{2}

és

p_{3}

-mal jeleljük, a fenntebbi szimbólumok a következő értékeket nyerik.

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = \frac{e_{3}}{e_{2}} : \frac{p_{3}}{p_{2}} = \frac{p_{2}}{c_{2}} : \frac{p_{3}}{e_{3}} = \frac{x_{2}}{x_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (C A E_{2} P_{2}) = \frac{e_{1}}{e_{3}} : \frac{p_{1}}{p_{3}} = \frac{p_{3}}{e_{2}} : \frac{p_{1}}{e_{1}} = \frac{x_{3}}{x_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} (A B E_{3} P_{3}) = \frac{e_{2}}{e_{1}} : \frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{p_{1}}{e_{1}} : \frac{p_{2}}{e_{2}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} \end{matrix}

Az így nyert

x_{1}, x_{2}

és

x_{3}

értékeket a

P

pont koordinátáinak nevezzük.
Az

(1)

alatti reláczió helyességét a következőképpen igazoljuk:

\begin{matrix} \frac{B E_{1}}{C E_{1}} = \frac{B E_{1}}{C E_{1}} : \frac{A E_{1}}{A E_{1}} \end{matrix}

A sinus-tétel értelmében azonban:

\begin{matrix} B E_{1} : A E_{1} = sin B A E_{1} : sin B \end{matrix}

\begin{matrix} C E_{1} : A E_{1} = sin C A E_{1} : sin C \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{B E_{1}}{C E_{1}} = \frac{sin B A E_{1}}{sin B} : \frac{sin C A E_{1}}{sin C} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{sin B A E_{1}}{sin C A E_{1}} : \frac{sin B}{sin C} = \end{matrix}

vagy a

\begin{matrix} C A : A B = sin B : sin C = b : c \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{sin B A E_{1}}{sin C A E_{1}} = \frac{sin B A E}{sin C A E} = \frac{e_{3}}{e_{2}} \end{matrix}

egyenletek folytán

\begin{matrix} \frac{B E_{1}}{C E_{1}} = \frac{e_{3}}{e_{2}} : \frac{b}{c} \end{matrix}

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

\begin{matrix} \frac{B P_{1}}{C P_{1}} = \frac{p_{3}}{p_{2}} : \frac{a}{b} \end{matrix}

miből végre

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = \frac{e_{3}}{e_{2}} : \frac{p_{3}}{p_{2}} = \frac{p_{2}}{e_{2}} : \frac{p_{3}}{e_{3}} = \frac{x_{2}}{x_{3}} \end{matrix}

Q. e. d.

B. Képzeljünk továbbá a síkban négy egyenest

a, b, c

és

e

-t adva, melyek közül bármely három sem metszi egymást egy pontban. Jeleljük továbbá az

e

egyenes metszéspontjai az

a, b

és

c

egyenesekkel rendre

E_{1}, E_{2},

és

E_{3}

-mal. Ekkor a sík bármely ötödik

p

egyenese meghatároz az alább leírandó módszer segélyével

3

számot, melyek per analogiam az egyenes koordinátáinak nevezhetők. A módszer a következő:
Jeleljük a

p

és az

a, b

és

c

egyenesek metszéspontjait rendre

P_{1}, P_{2},

és

P_{3}

-mal. Legyen továbbá a

b

és

c

egyenesek metszéspontja

A

, a

c

és

a

egyeneseké

B

és végre az

a

és

b

egyeneseké

C

. Ekkor mint előbb

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = \frac{B E_{1}}{C E_{1}} : \frac{B P_{1}}{C P_{1}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (C A E_{2} P_{2}) = \frac{C E_{2}}{A C_{2}} : \frac{C P_{2}}{A C_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (A B E_{3} P_{3}) = \frac{A E_{3}}{B E_{3}} : \frac{A P_{3}}{B P_{3}} . \end{matrix}

Ha most az

A, B

és

C

pontok távolságait az

e

és

p

egyenesektől rendre

e_{1}, e_{2}

és

e_{3}, p_{1}, p_{2}

és

p_{3}

-mal jeleljük, a fenntebbi szimpolumok a következő értékeket nyerik.

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = \frac{e_{1}}{e_{3}} : \frac{p_{2}}{p_{3}} = \frac{p_{3}}{e_{3}} : \frac{p_{3}}{p_{2}} = \frac{τ_{3}}{τ_{2}} \end{matrix}

(I)

\begin{matrix} (C A E_{2} P_{2}) = \frac{e_{3}}{e_{1}} : \frac{p_{3}}{p_{1}} = \frac{p_{1}}{e_{1}} : \frac{p_{3}}{e_{3}} = \frac{τ_{1}}{τ_{3}} \end{matrix}

(II)

\begin{matrix} (A B E_{3} P_{3}) = \frac{e_{1}}{e_{2}} : \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{p_{2}}{e_{2}} : \frac{p_{1}}{e_{1}} = \frac{τ_{2}}{τ_{1}} \end{matrix}

(III)

Az így nyert

τ_{1}, τ_{2}

és

τ_{3}

értékeket a

p

egyenes koordinátáinak nevezzük
Az

(1)

alatti reláczió helyessége hasonló háromszögek oldalainak arányossága alapján közvetlenül belátható.

III.

Vizsgáljuk már most néhány különleges helyzetű pontnak, illetőleg egyenesnek a koordinátáit.

A. Ha a

P

pont az

E

ponttal egybeesik, akkor

p_{1} = e_{1}, p_{2} = e_{2}, p_{3} = e_{3}

s így

x_{1} = x_{2}, = x_{3} = 1

a miért is az

E

pontot egységpontnak fogjuk hívni.
Ha a

P

pont a koordinátaháromszög egy oldalára esik, pl.

B C = a

-ra, akkor

p_{1} = 0

, s így

x_{1} = \frac{p_{1}}{e_{1}} = 0

, míg

x_{2} = \frac{p_{2}}{e_{2}}, x_{3} = \frac{p_{3}}{e_{3}}

meghatározott értékek; ha a

P

pont a koordinátaháromszög egy csúcspontjába, pl.

A

-ba esik, akkor

p_{2} = 0

, míg

p_{1} = h_{1}

,a háromszög egyik magasságvonalával egyenlő. Ez esetben

x_{2} = x_{3} = 0, x_{1} = \frac{p_{1}}{e_{1}}

meghatározott érték.
Minthogy az

1), 2)

és

3)

alatti egyenletek szorzatából következik, hogy

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = C A E_{2} P_{2}) (A B E_{3} P_{3}) = 1 \end{matrix}

látjuk, ha egységpontul a háromszög súlypontját

G

-t választjuk, mely esetben

\begin{matrix} \frac{B E_{1}}{C E_{1}} = \frac{C E_{2}}{A E_{2}} = \frac{A E_{3}}{B E_{3}} = - 1 \end{matrix}

hogy

\begin{matrix} \frac{B P_{1}}{C P_{1}} \times \frac{C P_{2}}{A P_{2}} \times \frac{A P_{3}}{B P_{3}} = - 1, \end{matrix}

az ismeretes Ceva-feltétel.

B. Ha a

p

egyenes az

e

egyenessel egybeesik, akkor

p_{1} = e_{1}, p_{2} = e_{2}, p_{3} = e_{3}

s így

τ_{1} = τ_{2} = τ_{3} = 1

, a miért is az

e

egyenest egység-egyenesnek fogjuk híni.
Ha a

p

egyenes a koordinátaháromszög egy csúcspontján megy keresztül, pl.

A

-n, akkor

τ_{1} = \frac{p_{1}}{e_{1}} = 0

, míg

τ_{2}

és

τ_{3}

meghatározott értékek; ha a

p

egyenes a koordináta háromszög egy oldalával pl.

a

-val egybeesik, akkor

p_{2} = p_{3} = 0

, míg

p_{1} = h_{1}

. Ez esetben

τ_{2} = τ_{3} = 0

, míg

τ_{1} = \frac{h_{1}}{e_{1}}

meghatározott érték.
Minthogy az

I), I I)

és

I I I)

alatti egyenletek szorzatából következik, hogy

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) (C A E_{2} P_{2}) (A B E_{3} P_{3}) = 1 \end{matrix}

látjuk, ha egység-egyenesül azon egyenest választjuk, mely a koordinátaháromszögek oldalait végtelen távolságban metszi, vagy röviden a sík végtelenben lévő egyenesét, mely esetben

\begin{matrix} \frac{B E_{1}}{C E_{1}} = \frac{C E_{2}}{A E_{2}} = \frac{A E_{3}}{B E_{3}} = 1 \end{matrix}

hogy

\begin{matrix} \frac{B P_{1}}{C P_{1}} \times \frac{C P_{2}}{A P_{2}} \times \frac{A P_{3}}{B P_{3}} = 1, \end{matrix}

az ismeretes Menelaus-féle tétel.

IV.

Tegyük fel már most, hogy az egység pont és az egység-egyenes úgy van választva, hogy

\begin{matrix} \frac{B E_{1}}{C E_{1}} = - \frac{B E_{1}}{C E_{1}}, \frac{C E_{2}}{A E_{2}} = - \frac{C E_{2}}{A E_{2}}, \frac{A C_{3}}{B E_{3}} = - \frac{A E_{3}}{B E_{3}} . \end{matrix}

(4)

Vizsgáljuk meg annak feltételét, hogy a

P

pont a

p

egyenesen fekszik, vagy megfordítva a

p

egyenes a

P

ponton megy keresztül.
Az I), II) és III) alatti egyenletek a

(4)

alattiak tekintetbe vételével a következő alakot nyerik

\begin{matrix} (B C E_{1} P_{1}) = - \frac{τ_{3}}{τ_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} (C A E_{2} P_{2}) = - \frac{τ_{1}}{τ_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (A B E_{3} P_{3}) = - \frac{τ_{2}}{τ_{1}} \end{matrix}

Ha ezekkel összekapcsoljuk az

(1), (2),

és

(3)

alatti egyenleteket azáltal, hogy azokat előbbiekkel rendre elosztjuk, kapjuk a következőket:

\begin{matrix} - \frac{x_{2} τ_{2}}{x_{3} τ_{3}} = B C E_{1} P_{1}) : (B C E_{1} P_{1}) = \frac{B E_{1}}{C E_{1}} : \frac{B P_{1}}{C P_{1}} : \frac{B E_{1}}{C E_{1}} : \frac{B P_{1}}{C P_{1}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{B P_{1}}{C P_{1}} : \frac{B P_{1}}{C P_{1}} = (B C P_{1} P_{1}) \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{x_{3} τ_{3}}{x_{1} τ_{1}} = (C A P_{2} P_{2}), - \frac{x_{1} τ_{1}}{x_{2} τ_{2}} = (A B P_{3} P_{3}) \end{matrix}

Ezekből a következő párokat képezzük:

\begin{matrix} - \frac{x_{2} τ_{2}}{x_{3} τ_{3}} - \frac{x_{1} τ_{1}}{x_{3} τ_{3}} = (B C E P_{1} P_{1}) + (C A P_{2} P_{2}) stb. \end{matrix}

(5)

Projiciáljuk a

(C A P_{2} P_{2})

-t a

P

pontból a

B C

-re, kapjuk a következő eyenlőséget:

\begin{matrix} (C A P_{2} P_{2}) = (C P_{1} B P_{1}) = (B P_{1} C P_{1}) \end{matrix}

mi által az

5)

alatti összeg a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} (B C P_{1} P_{1}) + (B C P_{1} C P_{1}) \end{matrix}

Ha most e pontsorokat egy tetszőleges

X

pontból egy a

X P_{1}

-gyel párhuzamos egyenesre projiciáljuk, úgy tehát, hogy a

P_{1}

projekciója végtelen lesz, az összeg a következő alakot veszi fel:

\begin{matrix} (B' C' P_{1}' \infty) = (B' P_{1}' C' \infty) = \frac{B' P_{1}'}{C' P_{1}'} + \frac{B' C'}{P_{1}' C'} = \frac{C' P_{1}'}{C' P_{1}'} = 1 \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} - \frac{x_{2} τ_{2}}{x_{3} τ_{3}} - \frac{x_{1} τ_{1}}{x_{3} τ_{3}} = 1; \end{matrix}

azaz végre az

\begin{matrix} x_{1} τ_{1} + x_{2} τ_{2} + x_{3} τ_{3} = 0 \end{matrix}

egyenletet a kívánt feltétel gyanánt nyerjük.

Arany Dániel

(f o l y t a t j u k).