Kezdőlap


Cím:	Cardan formulájának Cayley által módosított alakja
Szerző(k):	Weber H. M.
Füzet:	1895/október, 28 - 29. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Cardan formulájának Cayley által módosított alakja.

(A "Nouvelles Annales" 1895. augusztus havi számából)

Tudjuk, hogy az

\begin{matrix} y^{3} + 3 p y + 2 q = 0 \end{matrix}

(1)

harmadfokú egyenletnek megoldását a Cardan formulája a következő alakban szolgáltatja

\begin{matrix} y = u + v \end{matrix}

(2)

hol

\begin{matrix} u = \sqrt[3]{- q + \sqrt[]{q^{2} + p^{3}}}, v = \sqrt[3]{- q + \sqrt[]{q^{2} + p^{3}}} \end{matrix}

(3)

Tudjuk továbbá, hogy minden köbgyöknek

3

értéke van, melyek egymásból az

1, e, e^{2}

-tel való szorzás által nyerhetők, hol

e

a következő másodfokú egyenletből számítható ki:

\begin{matrix} e^{2} + e + 1 = 0 \end{matrix}

(4)

Ennélfogva az

y

-nak, ha

u

és

v

-nek értékeit a

(3)

-ból vesszük,

9

külömböző értéke van. Ezen kilencz érték közül azonban csak azok gyökei az

(1)

-nek, melyekben az

u

és

v

\begin{matrix} u v = - p \end{matrix}

(5)

egyenletet kielégítik.
Cardan formulája tehát annyiban hézagos, a mennyiben egymagában, -discussió nélkül- nem elegendő a gyökök meghatározására.
A hírneves angol mathematikus, Cayley, következőképpen segített e hiányon.
Két új értéket

ξ

-t és

η

-t a következőképpen értelmezett:

\begin{matrix} u = ξ^{2} η, v = ξ η^{2} \end{matrix}

(6)

Szorozzuk e két értéket egymással, az

(5)

-nek tekintetbe vételével, lesz ekkor:

\begin{matrix} ξ η = \sqrt[3]{- p} \end{matrix}

(7)

Helyettesítsük ezen értéket

(6)

-ba, és írjuk

u

és

v

helyébe a

(3)

-ból vett értékeiket. Ekkor a kvöetkező értékeket nyerjük:

\begin{matrix} ξ = \sqrt[3]{\frac{q}{p} + \sqrt[]{\frac{q^{2}}{p^{2}} + p}} \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

(8)

\begin{matrix} η = \sqrt[3]{\frac{q}{p} - \sqrt[]{\frac{q^{2}}{p^{2}} + p}} \end{matrix}

Ha most az

y

-t az

\begin{matrix} y = ξ η = (ξ + η) \end{matrix}

alakban írjuk, oly kifejezést nyerünk, melyben ha

ξ

-t

ξ, e ξ, e^{2} ξ

és

η

-t

η, e η, e^{2} η

által helyettesítjük többé nem kilencz külömböző értéket kapunk, hanem csak a következő hármat:

\begin{matrix} ξ^{2} η + ξ η^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} e ξ^{2} η + e^{2} ξ η^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} e^{2} ξ^{2} η + e ξ η^{2}, \end{matrix}

melyek az

(1)

alatti egyenlet gyökei.

(Weber H. M. göttingeni tanártól).