A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Gyakran előforduló eset a számításoknál, hogy bennük bizonyos számokat másokkal helyettesítünk, melyek tőlük többé-kevésbé külömböznek. Azon számokat, melyekkel működnünk kellene pontos számoknak, azokat, melyekkel helyettesítjük őket, közelítő számoknak nevezzük. Valamely közelítő szám absolut hibája alatt a pontos szám és a közelítő szám külömbségének absolut, azaz az előjeltől független értékét értjük. A viszonylagos (relatív) hibája valamely közelítő számnak az absolut hiba- és a pontos számnak pontos hányadosa. Ha -val jelöljük a pontos számot, -vel az absolut hibát és -tel a relatív hibát, akkor az értelmezés következtében A következőkben megtartjuk e jelzéseket; azonkívül a közelítő számot -val fogjuk jelölni; végre csak a tizes számrendszerben kifejezett számokat veszünk tekintetbe.
1. Tantétel. -Ha valamely közelítő szám absolut hibája kisebb az -edik számjegye rendjének egy egységénél, e szám relatív hibája kisebb mint . Tegyük fel, hogy a szám -edik számjegye, a szám -edik tizedese. Ekkor feltevés szerint az absolut hiba miből Tegyük fel, hogy a szám egész-számú része zérustól külömböző, mely esetben számjegyet tartalmaz és A két utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy: vagy
2. Tantétel. -Ha valamely közelítő szám relatív hibája kisebb mint , e szám absolut hibája kisebb az -edik számjegye rendjének egy egységénél.
Feltevés szerint vagyis . Ebből következik, hogy . Tegyük fel ismét, hogy a szám -edik számjegye, a szám -edik tizedese és hogy a szám egész számú része zérustól külömböző. Az egész-számú rész számjegyeinek száma ekkor és írhatjuk, hogy ; miből következik, hogy vagy .
3. Tantétel. -- Két alsó közelítő (a pontos számnál kisebb) szám szorzatának relatív hibája kisebb a tényezők relatív hibái összegénél. Legyenek és a pontos számok, és a közelítő számok, és az absolut hibák és és a relatív hibák. Legyen továbbá a szorzat absolut hibája és relatív hibája. Ekkor miből s így tehát Továbbá vagyis vagy végre 4. Tantétel. -Két közelítő szám pontos hányadosának relatív hibája kisebb e számok relatív hibáinak összegénél, ha a számláló alsó közelítő és a nevező felső közelítő szám. Megtartva az előbbi tantétel jelzéseit, a következőket nyerjük: | | | | miből vagy végre 5. Tantétel. -Valamely felső közelítő szám négyzetgyökének relatív hibája kisebb e szám relatív hibájának felénél.
| | miből s így végre
Feladat. - Számíttassék ki tizedesnyi pntossággal. Minthogy és a keresett szorzat kisebb mint . E számnak egész számú része számjegyből áll. Ennélfogva, minthogy tizedesnyi pontosságot akarunk, kell, hogy az absolut hiba kisebb legyen a harmadik számjegy rendjének egy egységénél. Vegyük minden szorzóban a azaz első számjegyet. Ekkor a és számokat nyerjük, mely számoknak relatív hibái az 1. Tantétel értelmében kisebbek az -nél. Képezzük e két szám szorzatát, mi -öt ad. A 3. Tantétel értelmében e szorzat relatív hibája kisebb mint vagy mint , tehát a 2. Tantétel értelmében absolut hibája kisebb a -ik számjegye rendjének egy egységénél. A keresett szám, , alsó közelítő szám. |