Cím:	A Ceva-féle tétel és alkalmazása
Szerző(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1895/február, 94 - 95. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A Ceva-féle tétel és alkalmazása. A síkháromszögeknél előforduló tételek, melyek a középvonalak, szögfelezők és magasságok egy-egy pontban találkozására vonatkoznak, vagy meglehetősen nehézkes módon, vagy éppen nincsenek bizonyítva tankönyveinkben, melyek az e tekintetben felette fontos Ceva-féle tételt sem közlik; pedig mint a párhuzamos átszelőkről tanultak egyik alkalmazását és a Menelaus-féle tétel társát, minden nehézség nélkül fölvehetnék részben, mint az említettem tételek egyszerű bizonyításának eszközét, részben mint adott három elemhez a negyedik harmonikus szerkesztésének igazolási módját. A tétel így szól: Ha a háromszög csúcsain át oly egyeneseket húzunk, melyek a sík egy pontján mennek át: a szemben fekvő oldalakon, illetőleg megnyújtásaikon származó metszéspontok úgy osztják ez oldalokat, hogy a szeletekből képezett arányok szorzata a negatív egység, azaz, ha $A\mathrm{,}B\mathrm{,}C$ a háromszög csúcsai és $A_1\mathrm{,}{B}_1\mathrm{,}{C}_1$ a mondott módon keletkezett metszéspontok: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}\frac{B_{1}C}{B_{1}A}\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=-1}\end{array}$ hol az egyes arányok jele elemeik egyenlő, vagy ellenkező iránya szerint veendő positív, vagy negatív értelemben. A tétel bizonyítása így is eszközölhető: Legyen $P$ az $A{A}_{1}B{B}_{1}C{C}_1$ sugarak metszéspontja. Az $APB\mathrm{,}BPC\mathrm{,}CPA$ háromszögek ketten-ketten közös $BP\mathrm{,}CP\mathrm{,}AP$ alapon állván, területeik úgy aránylanak, mint magasságaik, ez utóbbiak pedig a származott hasonló háromszögek folytán mint a közös alap megnyújtása által $AC\mathrm{,}AB\mathrm{,}BC$ oldalakon keletkezett szeletek, azaz: $\begin{array}{c}{\displaystyle APB:BPC=B_{1}A:C{B}_1}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle BPC:CPA=C_{1}B:C_{1}A}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle CPA:APB=A_{1}C:A_{1}B}\end{array}$ mely aránylatok megfelelő tagjainak szorzása által: honnan: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}\cdot \frac{B_{1}C}{B_{1}A}\cdot \frac{C_{1}A}{C_{1}B}\mathrm{.}=-\mathrm{1,}}\end{array}$ mert az arányok mindannyia negatív, ha $P$ a háromszög belsejében fekszik, vagy egy közülük negatív, ha $P$ a háromszögön kívül van. A tétel megfordítható, mint minden általános állító tétel. A megfordítás így fogalmazható: ha a háromszög három oldalán úgy választjuk az $A_1{B}_1{C}_1$ pontokat, hogy a szeletekből képezett arányok szorzata a negatív egység: az $A{A}_1\mathrm{,}B{B}_1\mathrm{,}C{C}_1$ sugarak egy ponton mennek át. Alkalmazás. 1. A középvonalak egy pontban, a súlypontban találkoznak, mert az esetben $A_{1}B=-A_{1}C\mathrm{,}{B}_{1}C=-B_{1}A\mathrm{,}{C}_{1}A=-C_{1}B$ és így: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}\cdot \frac{B_{1}C}{B_{1}A}\cdot \frac{C_{1}A}{C_{1}B}={\left(-1\right)}^3=-1}\end{array}$ 2. A háromszög belső szögeit felező egyenesek egy pontban találkoznak, mert ez esetben: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}=-\frac{c}{b}\mathrm{,}\frac{B_{1}C}{B_{1}A}=-\frac{a}{c}\mathrm{,}\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=-\frac{b}{a}}\end{array}$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}\cdot \frac{B_{1}C}{B_{1}A}\cdot \frac{C_{1}A}{C_{1}B}=\frac{abc}{abc}=-1}\end{array}$ 2a. A háromszög egyik szögét és a másik kettő mellékszögeit felező egyenesek egy pontban találkoznak, mert pl. az $A\mathrm{,}\left(\pi -B\right)\mathrm{,}\left(\pi -C\right)$ szögeket vévén: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}=-\frac{c}{b}\mathrm{,}\frac{B_{1}C}{B_{1}A}=\frac{a}{c}\mathrm{,}\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=\frac{b}{a}}\end{array}$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A_{1}B}{A_{1}C}\cdot \frac{B_{1}C}{B_{1}A}\cdot \frac{C_{1}A}{C_{1}B}=-\frac{abc}{abc}=-1.}\end{array}$ Az $m_a\mathrm{,}{m}_b\mathrm{,}{m}_c$ magasságok egy pontban találkoznak, mert a keletkezett hasonló háromszögekből: (Egyszerűség kedvéért geometriai függvényeket használva) és így Hasonló módon alkalmazhatni egyes esetekben a Menelaus-féle tételt három pontnak egy egyenesben fekvése kritériumául. Maksay Zsigmond.