Kezdőlap


Cím:	Maximum és minimumproblémák elemi tárgyalása 1.
Szerző(k):	Arany Dániel
Füzet:	1894/április, 33 - 34. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Maximum- és minimumproblémák elemi tárgyalása.

Alapfogalmak.

Ha két változó értékű mennyiséget

x

-et és

y

-t oly módon kapcsolunk össze, hogy az egyik változó bizonyos meghatározott értékét vagy értékrendszerét tudjuk meghatározni, akkor azt mondjuk, hogy

y

x

-nek függvénye. Ezen függést a következő symbolikus egyenlettel fejezzük ki:

\begin{matrix} y = f (x) \end{matrix}

x

-et független, az

y

-t függő változónak nevezzük. Tegyük fel, hogy

x

a

-tól

b

-ig növekedő értékeket vesz fel egymásután és

c

oly érték, melyre nézve a következő egyenlőtlenségek állanak fenn:

\begin{matrix} a < c < b . \end{matrix}

Ha ekkor

y f (a)

-tól

f (c)

-ig folytonosan növekszik és

f (c)

-től

f (b)

-ig folytonosan fogy, akkor az

y = f (x)

függvényről azt mondjuk, hogy az

x = c

értéknél maximumát éri el. Ha megfordítva

y = f (a)

-tól

f (c)

-ig fogy és

f (c)

-től

f (b)

-ig nő, akkor az

x = c

értéknél minimumon megy át. Különben mi sem akadályozza azon feltevést, hogy az

y

, míg az

x

a

-tól

b

-ig növekszik több maximum- és minimumon ne menjen át.

II.

Hogy valamely függvény maximális vagy minimális értékét megtalálhassuk,

x

-et bizonyos határok között kell változtatnunk és

y

-nak megfelelő változásait figyelemmel kell kísérnünk. Ezen eljárás, bár legtermészetesebbnek látszik, korántsem eszközölhető az elemi mathematika segédeszközeivel. Sok esetben azonban ezen eljárás mással helyettesíthető, mely végeredményében másodfokú egyenlet megoldását kívánja. Ezen eljárást mutassuk be néhány példában. 1. Kerestetik az

y = a x^{2} + b x + c

másodfokú egész függvény maximuma vagy minimuma. Írjuk fel az

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c - y = 0 \end{matrix}

(1)

egyenletet és kérdezzük az

y

mely értékeinél lesznek gyökei valósak. A gyökök alakjából

\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt[]{b^{2} - 4 a (c - y)}}{2 a} \end{matrix}

(2)

folyik, hogy ez akkor következik be, ha

\begin{matrix} b^{2} - 4 a c + 4 a y ≧ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 a y ≧ 4 a c - b^{2} \end{matrix}

(3)

a > 0

(3)

alatti egyenletből

\begin{matrix} y ≧ \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}

vagyis

y

nagyobb vagy legfeljebb egyenlő

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

-val. Ez utóbbi érték tehát

y

-nak minimuma.
Ha

a < 0

(3)

alatti egyenletből

\begin{matrix} y ≦ \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}

azaz

y

legnagyobb értéke

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

. Ugyanekkor

x = - \frac{b}{2 a}

mindkét esetben.
Összefoglalás Az

y = a x^{2} + b x + c

függvény maximum vagy minimum midőn

x = - \frac{b}{2 a}

. A maximum vagy minimum akkor következik be, ha

a ≶ 0

és értéke ekkor

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

.
2. Kerestetik az

\begin{matrix} y = \frac{a x^{2} + b x + c}{a' x^{2} + b' x + c'} \end{matrix}

függvény maximuma vagy minimuma.
Írjuk fel az

\begin{matrix} \frac{a x^{2} + b x + c}{a' x^{2} + b' x + c'} - y = 0 \end{matrix}

(1)

egyenletet és kérdezzük az

y

mely értékeinél lesznek gyökei valósak.
Tegyük fel egyelőre, hogy az

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} a' x^{2} + b' x + c' = 0 \end{matrix}

(3)

egyenleteknek nincsen közös gyökük. Ekkor az

(1)

alatti egyenlet gyökei azonosak az

\begin{matrix} (a - a' y) x^{2} + (b - b' y) x + c - c' y = 0 \end{matrix}

(4)

egyenlet gyökeivel. A

(3)

alatti egyenlet egyik gyöke sem lehet a

(4)

gyöke, mert ekkor a

(2)

gyöke is volna. Így tehát a

(4)

egyik gyöke sem lehet a

(3)

gyöke és így az

(1)

és

(4)

alatti egyenletek gyökei azonosak.
A

(4)

alatti egyenlet gyökei

\begin{matrix} x = \frac{- (b - b' y) \pm \sqrt[]{{(b - b' y)}^{2} - 4 (a - a' y) (c - c' y)}}{2 (a - a' y)} \end{matrix}

(5)

A gyökjel alatt álló mennyiség

y

-nak fogyó hatványai szerint rendezve

\begin{matrix} A y^{2} + B y + C \end{matrix}

hol

\begin{matrix} A = b'^{2} - 4 a' c' \end{matrix}

\begin{matrix} B = 4 (a c' + c a') - 2 b b' \end{matrix}

\begin{matrix} C = b^{2} - 4 a c \end{matrix}

x

tehát akkor valós, ha

A y^{2} + B y + C ≧ 0

.
Első eset.

\begin{matrix} B^{2} - 4 A C > 0 \end{matrix}

\begin{matrix} A y^{2} + B y + C = 0. \end{matrix}

egyenlet gyökei valósak és

\begin{matrix} D = A y^{2} + B y + C = A (y - y') (y - y'') \end{matrix}

hol

\begin{matrix} y' < y'' \end{matrix}

\begin{matrix} D ≧ 0, ha \end{matrix}

\begin{matrix} 1) A > 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} y ≦ y' < y'' \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y ≧ y'' > y' \end{matrix}

vagy ha

\begin{matrix} 2) A < 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} y' ≦ y ≦ y'' \end{matrix}

Az első esetben

y'

maximum és

y''

minimum; a másodikban

y'

minimum és

y''

maximum.
Az

x

értékei, melynél e minimumok vagy maximumok bekövetkeznek

\begin{matrix} x = \frac{- (b - b' y)}{2 (a - a' y)} \end{matrix}

hol

y

helyébe egyszer

y'

, másszor

y''

írandó.
Második eset.

\begin{matrix} B^{2} - 4 A C < 0 \end{matrix}

\begin{matrix} A y^{2} + B y + C = 0. \end{matrix}

egyenlet gyökei complex számok és

\begin{matrix} D = A y^{2} + B y + C = A (y - p - q i) (y - p + q i) \end{matrix}

\begin{matrix} = A {{(y - p)}^{2} + q^{2}} \end{matrix}

A < 0,

D

mindíg kisebb a nullánál; hogy

D ≧ 0

legyen, kell, hogy

A ≧ 0.

A > 0

D

mindíg nagyobb nullánál és

y

sohasem lesz maximum vagy minimum. Ha

A = 0

akkor

\begin{matrix} D = B y + C = B (y + \frac{C}{B}) . \end{matrix}

B > 0

D

akkor

≧ 0

midőn

\begin{matrix} y + \frac{C}{B} ≧ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} y ≧ - \frac{C}{B} \end{matrix}

y' = - \frac{C}{B}

ez esetre minimum.

B < 0

D

akkor

≧ 0

midőn

\begin{matrix} y + \frac{C}{B} ≦ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} y ≦ - \frac{C}{B} \end{matrix}

y'' = - \frac{C}{B}

ez esetre maximum. Harmadik eset.

\begin{matrix} B^{2} - 4 A C = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} A y^{2} + B y + C = 0. \end{matrix}

egyenlet gyökei valósak és egyenlők.

D = A y^{2} + B y + C = A {(y + \frac{B}{2 A})}^{2}

A < 0,

D

mindíg kisebb a nullánál; ha

A > 0, D

mindíg nagyobb a nullánál és

y

sohasem lesz maximum vagy minimum. Minthogy

\begin{matrix} B^{2} - 4 A C = 16 (β^{2} - α γ) = 0 \end{matrix}

hol

\begin{matrix} β = a c' - c a' \end{matrix}

\begin{matrix} γ = a b' - b a' \end{matrix}

\begin{matrix} α = b c' - c b' \end{matrix}

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} a' x^{2} + b' x + c' = 0 \end{matrix}

egyenletnek legalább egy közös gyökük van. A harmadik esettel tehát el van intézve egyszersmind azon egyelőre mellőzött eset, melyben a

2)

és

3)

egyenleteknek közös gyökük van.

(Folyatjuk).