Cím:	Köbre emelés és köbgyökvonás a tízes számrendszerben
Szerző(k):	Arany Dániel
Füzet:	1894/március, 29 - 30. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Köbre emelés és köbgyökvonás a tízes számrendszerben. Legyen adva a következő kifejezés $\begin{array}{c}{\displaystyle S=a+b+\text{...}+m+n}\end{array}$ akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle S^3=S{\text{'}}^3=3S{\text{'}}^{2}n+3S{n}^2+n^3}\end{array}$ 1) hol $\begin{array}{c}{\displaystyle S\text{'}=a+b+\text{...}+l+m\mathrm{.}}\end{array}$ Ha tehát ismerek egy eljárást, mellyel $S{\text{'}}^3$ és $S{\text{'}}^2$ kifejezéseket egyszerűen képezhetem az $1)$ alatti rekurrens képlet segítségével $n$ tagból álló összeg köbét képezhetem fokozatosan $2$ tagú összegéből. Ugyanis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}\end{array}$ és ez a következőképpen alakítható; Felírom sorban a következő $3$ értéket. $a^3\mathrm{,3}{a}^2$ és $3a$-t; hozzáadom az utolsóhoz $b$-t és az így nyert összeget szorzom $b$-vel. E szorzatot $3a^2$-hez adom és az összeget $b$-vel szorzom. Végre e szorzatot $a^3$-höz adom. Ez utolsó összeg ${\left(a+b\right)}^3$. ${\left(a+b\right)}^2$-nek képezését legczélszerűbben a most vázolt eljárás képletes felírásával és kiegészítésével magyarázom meg. ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle a^3}& {\displaystyle +}\hfill & {\displaystyle 3a^2}\hfill & \hfill {\displaystyle +}& {\displaystyle 3a}\hfill & {\displaystyle +}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle +3a^{2}b}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle +3ab+b^2}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +b}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle +3a{b}^2}\hfill & {\displaystyle 3a^2}\hfill & \hfill {\displaystyle +3ab+b^2}& {\displaystyle 3a}\hfill & {\displaystyle +b}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle +b^3}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle +b^2}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +b}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\left(a+b\right)}^3}\hfill & {\displaystyle 3(a}\hfill & \hfill {\displaystyle +b{)}^2}& {\displaystyle 3(a}\hfill & {\displaystyle +b)}\hfill \end{array}}$ Képeztessék pl. ${2385}^3$ ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 8\text{...}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 12\text{...}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 6.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 4167}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 189}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 3}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 12167\text{...}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1389}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 63}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1314272}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 9}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 3}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 13481272\text{...}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1587\text{...}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 69.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 85144625}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5584}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 8}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 13566416625}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 164284}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 698}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 64}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 8}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 169932\text{...}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 714.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 35725}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 5}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 17028925}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 7145}\hfill \end{array}}$ Azaz ${2385}^3=\mathrm{13,566,416,625}=A$ Vonjunk most köbgyököt $A$-ból $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{\mathrm{13,566,416,625}}=2385}\end{array}$ ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 8}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 5566:12}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 4167}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1399416:1587}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1314272}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 85144625:169932}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 85144625}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 0}\hfill \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 12\text{...}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 6.}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 189}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1389}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 63}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 9}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1587\text{...}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 69.}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 5584}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 8}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 164284}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 698}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 64}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 8}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 169932\text{...}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 714.}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 34725}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 17028925.}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 7145.}\end{array}}$