Cím: A másodfokú egyenlet diszkussziója
Szerző(k):  Schey Lipót 
Füzet: 1894/január, 9. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A másodfoku egyenlet diszkussziója.

I.
Legyen F(x)=ax2+bx+c=0 és δ=b2-4ac, akkor mint ismeretes az egyenletnek két valós gyöke van ha δ0.
Tegyük fel, hogy δ>0 és x' meg x" az egyenlet két gyöke, x'<x", akkor
F(x)=a(x-x')(x-x").

Ha x helyett x'-nél kisebb számot írunk, akkor x-x' negatív és x-x" még inkább az, tehát F(x) olyan jelű, mint a.
Ha x helyébe a két gyök között fekvő számot írunk, akkor x-x' pozitív és x-x" negatív, tehát F(x) olyan előjelű mint -a.
Ha végre x-et x"-nél nagyobb számokkal helyettesítjük, akkor x-x' és x-x" pozitív és így F(x) olyan jelű mint a.
Legyen δ=0 akkor F(x)=a(x-x')2 ekkor x bármely értékénél F(x) olyan előjelű mint a.
Ha pedig δ<0 akkor
F(x)=ax2+bx+c=a[(x+b2a)2+4ac-b24a2]=a(M2+N2)
x bármely értékénél a zárójelben lévő kifejezés pozitív és így F(x) olyan előjelű, mint a.
Tehát ha F(α) és a előjelre nézve megegyeznek, akkor α a gyökökön kívül fekszik, ha pedig F(α) olyan előjelű mint -a, akkor α a gyökök között fekszik.
II.

Minthogy a gyökök összege =-ba, azért áll a következő: Feltéve, hogy α a gyököknél kisebb, úgy α<-b2a azaz α kisebb a gyökök félösszegénél; ha pedig β nagyobb a gyökök bármelyikénél, úgy β>-b2a, ennélfogva, ha
α<-b2a<β
akkor a gyökök α és β között feküsznek.
III.

Ha két szám között az egyenlet egyik gyöke fekszik, akkor azt mondjuk, a két szám a gyököket elkülöníti. Hogy α és β az F(x)=ax2+bx+c=0 egyenlet gyökeit elkülönítse, arra szükséges és elegendő feltétel, hogy F(α) és F(β) ellenkező előjelűek legyenek. A feltétel szükséges, mert az elkülönítés esetében α vagy β a két gyök között fekszik pl. α és akkor β a két gyökön kívül fekszik, tehát akkor F(α) előjele megegyezik -a-val, F(β) pedig +a-val. De a föltétel elegendő is, mert ha F(α) és F(β) ellenkező előjelű úgy egyik -a-val megyegyezik. Ekkor pedig a gyökök valósak és különbözők és F(α) vagy F(β) a gyökök között fekszik.
IV.

P. Keressük, hogy az
(a+b+c)x2-2(ab+bc+ac)x+3abc=0

egyenlet gyökei, mily határok között feküsznek.
F(a)=(a+b+c)a2-2(ab+bc+ac)a+3abc=a[a2+ab+ac-2ab-2bc-2ac+3bc]=a(a2-ab-ac+bc)=a(a-b)(a-c).
Épp így
F(b)=b(b-c)(b-a)  és  
F(c)=c(c-a)(c-b).
 

Legyen a<b<c
F(a) előjele olyan mint +a

F(b) előjele olyan mint -b

F(c) előjele olyan mint +c

F(a) és F(b) ellenkező előjelűek és

F(b) és F(c) ellenkező előjelűek

tehát a gyökök valósak, különbözők és elkülöníttetnek a,b és c által.
Schey Lipót.
főreálisk. tanár Győrött.