Kezdőlap


Cím:	A kör területének kiszámítása
Szerző(k):	Arany Dániel
Füzet:	1893/december, 5. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kör területe $K$ a körbe és a kör körül ért szabályos sokszögek területének $J_{n}$ és $C_{n}$ -nek határértéke. Az az a

\begin{matrix} K - J_{n} és C_{n} - K \end{matrix}

külömbségek annál jobban megközelítik a

0

-t, minél nagyobb az

n

, a körbe és a kör körül írt szabályos sokszögek oldalainak száma.
Jelen sorok czélja egyszerű bizonyítását adni azon eljárásnak, mellyel a

2 n

-oldalú sokszögek területeinek kiszámítása történik, ha advák az

n

-oldalú beírt és körülírt sokszögek területei

J_{n}

és

C_{n}

A körbe és a kör körül írt szabályos

n

és

2 n

oldalú sokszögek területe az

A B O

C D O

és

A F O

G H O

egyenlőszárú háromszögek

n

, illetőleg

2 n

-szeresei.
Vagyis

\begin{matrix} J_{n} = n \cdot A B O = n \cdot A E \cdot E O . \end{matrix}

\begin{matrix} C_{n} = n \cdot C D O = n \cdot C F \cdot F O . \end{matrix}

\begin{matrix} J_{2 n} = 2 n \cdot A F O = n \cdot A E \cdot F O . \end{matrix}

és

\begin{matrix} C_{2 n} = 2 n \cdot G H O = 2 n \cdot G F \cdot F O . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} J_{n} C_{n} = n^{2} \cdot A E \cdot E O \cdot C F \cdot F O \end{matrix}

és

\begin{matrix} J_{n}^{2} = n^{2} {\bar{A E}}^{2} \cdot {\bar{F O}}^{2} . \end{matrix}

A E O

és

C F O

háromszögek hasonlóságából következik, hogy:

\begin{matrix} A E : E O = C F : F O \end{matrix}

\begin{matrix} és A E \cdot F O = E O \cdot C F \end{matrix}

Vagyis

\begin{matrix} J_{n} C_{n} = n^{2} {\bar{A E}}^{2} \cdot {\bar{F O}}^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} J n C_{n} = J_{2 n}^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} J_{2 n}^{- 1} = {J_{n}^{- 1} C_{n}^{- 1}}^{\frac{1}{2}} \end{matrix}

(1)

O G

egyenes felezi az

O F C

szöget. Ennélfogva

\begin{matrix} F G : G C = F O : O C . \end{matrix}

\begin{matrix} F G : F C = F O : (F O + O C) . \end{matrix}

\begin{matrix} F G = \frac{F C \cdot F O}{F O + O C} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{F G}}^{- 1} = \frac{F O + O C}{F C \cdot F O} = {\bar{F C}}^{- 1} + \frac{O C}{F C \cdot F O} \end{matrix}

De ugyancsak az előbbi háromszög hasonlóságából következik, hogy:

\begin{matrix} O C : F C = O A : E A, \end{matrix}

\begin{matrix} O A = F O; \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} E A = \frac{F C \cdot F O}{O C}, \end{matrix}

\begin{matrix} {E A}^{- 1} = \frac{O C}{F C \cdot F O}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {F G}^{- 1} = {F C}^{- 1} + {E A}^{- 1} . \end{matrix}

Ha ezen egyenletet megszorozzuk

1 : 2 n F O

-val, lesz belőle

\begin{matrix} \frac{1}{2 n \cdot G F \cdot F O} = \frac{1}{2} {\frac{1}{n \cdot C F \cdot F O} + \frac{1}{n \cdot A E \cdot F O}}, \end{matrix}

\begin{matrix} C_{2 n}^{- 1} = \frac{1}{2} {C_{n}^{- 1} + J_{2 n}^{- 1}} \end{matrix}

(2)

A kör területének kiszámítására az

J_{4}

és

C_{4}

értékekből indulunk ki. Kérdés, meddig kell a számítást folytatnom, hogy a

\begin{matrix} K - J_{2 (k + 2)}, C_{2 (k + 2} - K \end{matrix}

külömbségek kisebbek legyenek

1 : 10^{n}

-nél.

\begin{matrix} J_{2 n}^{- 1} = J_{n}^{- \frac{1}{2}} C_{n}^{- \frac{1}{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} C_{2 n}^{- 1} = \frac{1}{2} C_{n}^{- 1} + \frac{1}{2} J_{2 n}^{- 1}, \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{2} C_{n}^{- 1} + \frac{1}{2} J_{n}^{- \frac{1}{2}} C_{n}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{2} C_{n}^{- \frac{1}{2}} (C_{n}^{- \frac{1}{2}} + J_{n}^{- \frac{1}{2}}) . \end{matrix}

\begin{matrix} J_{2 n}^{- 1} - C_{2 n}^{- 1} = \frac{1}{2} C_{n}^{- \frac{1}{2}} {J_{n}^{- \frac{1}{2}} - C_{n}^{- \frac{1}{2}}}, \end{matrix}

\begin{matrix} J_{2 n}^{- 1} - C_{2 n}^{- 1} = \frac{1}{2} \frac{C_{n}^{- \frac{1}{2}}}{J_{n}^{- \frac{1}{2}} + C_{n}^{- \frac{1}{2}}} {J_{n}^{- 1} - C_{n}^{- 1}}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{C_{2 n} - J_{2 n}}{J_{2 n} C_{2 n}} = \frac{1}{2} \frac{C_{n}^{- \frac{1}{2}}}{2 C_{2 n}^{- 1} : C_{n}^{- \frac{1}{2}}} \frac{C_{n} - J_{n}}{J_{n} C_{n}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{4} \frac{C_{2 n}}{C_{n}} \frac{C_{n} - J_{n}}{J_{2 n}^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} C_{2 n} - J_{2 n} = \frac{1}{4} \frac{C_{2 n}^{2}}{C_{n} J_{2 n}} {C_{n} - J_{n}} . \end{matrix}

\begin{matrix} C_{2 n}^{- 1} = \frac{C_{n} + J_{2 n}}{2 C_{n} J_{2 n}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{C_{2 n}^{2}}{C_{n} J_{2 n}} = \frac{4 C_{n} J_{2 n}}{{(C_{n} + J_{2 n})}^{2}} = {\frac{\sqrt[]{C_{n} J_{2 n}}}{\frac{C_{n} + J_{2 n}}{2}}}^{2} \end{matrix}

Ez utóbbi kifejezés, mint két mennyiség mértani és számtani középarányosai hányadosainak négyzete kisebb az egységnél^{$^{*}$}) s így

\begin{matrix} C_{2 n} - J_{2 n} < \frac{1}{4} (C_{n} - J_{n}) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} C_{2 (2 + k)} - J_{2 k} < \frac{1}{4^{k}} (C_{4} - J_{4}) < \frac{1}{10^{n}}, \end{matrix}

\begin{matrix} ha 4^{k} > 10^{n} (C_{4} - J_{4}) . \end{matrix}

Ha a

J_{4} = 2

C_{4} = 4

értékekből indulunk ki és azt akarjuk, hogy a kör területének mérőszáma

5

tizedesre pontos legyen,

k

-t úgy kell választanunk, hogy

\begin{matrix} 4^{k} > 2, \cdot 10^{5} \end{matrix}

a mi bekövetkezik, ha

k ≧ 9

. Vagyis a számítást a

2048

oldalú sokszögekig folytatjuk. A számítás táblázata:

\begin{matrix} J_{4} = 1 : 0,500000 C_{4} = 1 : 0,250000 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{8} = 1 : 0,353553 C_{8} = 1 : 0,301776 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{16} = 1 : 0,326640 C_{16} = 1 : 0,314208 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{32} = 1 : 0,320364 C_{32} = 1 : 0,317286 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{64} = 1 : 0,318821 C_{64} = 1 : 0,318054 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{128} = 1 : 0,318437 C_{128} = 1 : 0,318246 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{256} = 1 : 0,318342 C_{256} = 1 : 0,318294 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{512} = 1 : 0,318318 C_{256} = 1 : 0,318306 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{1024} = 1 : 0,318312 C_{1024} = 1 : 0,318309 \end{matrix}

\begin{matrix} J_{2048} = 1 : 0,318310 C_{2048} = 1 : 0,318310 \end{matrix}

\begin{matrix} 1 : 0,318310 \end{matrix}

\begin{matrix} 100000 & 0 & : & 3.1,8,3,1 & = & 3\cdot14159 \\ 4507 & \cdot0 \\ 1323 & \cdot9 \\ 50 & \cdot6 \\ 18 & \cdot9 \\ 3 & \cdot0 \\ 2 \end{matrix}

^{$^{*}$}

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} > 0, a^{2} - 2 a b + b^{2} > 0, a^{2} + b^{2} > 2 a b, \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} > 4 a b, {(a - b)}^{2} > 4 a b, {(\frac{a + b}{2})}^{2} > a b, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a + b}{2 > \sqrt[]{a b}} . A mi bebizonyítandó volt. \end{matrix}