Kezdőlap


Feladat:	B.3458	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babos Attila , Balka Richárd , Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Buti Tamás , Horváth Márton , Konfár András , Paulin Roland , Sparing Dániel , Tóth János
Füzet:	2002/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb szinezési problémák, Síkgeometriai bizonyítások, Kombinatorikus geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: B.3458

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megadunk egy eljárást a kék pontok egy megfelelő elhelyezésére. Először vegyünk fel egy olyan $e$ egyenest, ami nem párhuzamos egyetlen olyan egyenessel sem, ami legalább két piros pontot tartalmaz. Ilyen $e$ egyenes van, mert az $n$ darab piros pont legfeljebb $(\binom{n}{2})$ különböző irányt határoz meg, a síkon pedig végtelen sok különböző irány létezik. Ezután minden piros ponton át rajzoljunk egy-egy $e$ -vel párhuzamos egyenest. Az $e$ definíciójából következően így $n$ db különböző párhuzamos egyenest kapunk úgy, hogy mindegyikük pontosan egy piros pontot tartalmaz. Rögzítsünk egy $d$ távolságot, ami bármely olyan valódi háromszög mindhárom magasságánál rövidebb, amelynek a csúcsai piros pontok. Ezek után az előbbi $n$ egyenes mindegyikén vegyünk föl két kék pontot az egyenesen lévő piros pontra szimmetrikusan, attól éppen $d$ távolságra. Így a kék pontok száma $2 n$ .

1. ábra 2. ábra

Megmutatjuk, hogy ha az

F

G

H

piros pontok háromszöget alkotnak, akkor ennek belsejében van legalább egy kék pont. Legyenek

f

g

és

h

a háromszög csúcsain átmenő,

e

-vel párhuzamos egyenesek. E három különböző egyenes közül egy a másik kettő között van. Feltehetjük, hogy ez a

g

(2. ábra). Ekkor

g

F H

szakaszt annak valamely

G'

belső pontjában metszi. Mivel

G G'

legalább akkora, mint az

E F G

háromszög

G

-ből induló magasságszakasza, azért a

G G'

szakasz belsejében ‐ s így az

E F G

háromszög belsejében ‐ van kék pont.

Babos Attila (ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Megmutatható, hogy ha a piros pontok konvex burka (azaz a legkisebb olyan konvex sokszög, amelyik mindegyik piros pontot tartalmazza)

k

-oldalú sokszög, akkor

2 n - 2 - k

kék pont is elég ahhoz, hogy minden piros háromszög belsejében legyen közülük legalább egy. A konvex burok csúcsain átmenő

e

-vel párhuzamos egyenesekre ugyanis elég csak 1-1 kék pontot elhelyeznünk, sőt a két szélső egyenesre egyet sem kell tennünk (lásd a 3. ábrát).

3. ábra