Feladat: Gy.2596 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Álmos Á. ,  Csörnyei Mariann ,  Dombi G. ,  Faragó G. ,  Imreh Cs. ,  Katz S. ,  Kerekes Gizella ,  Klinkó P. ,  Kosztolánczy G. ,  Lakner T. ,  Lente G. ,  Matolcsi M. ,  Megyesi Z. ,  Molnár-Sáska G. ,  Nagy 999 Judit ,  Piróth A. ,  Szendrői Balázs ,  Szűts Dávid ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Varjú Katalin ,  Virág B. 
Füzet: 1990/október, 309 - 310. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Sokszög lefedések, Skatulyaelv, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/december: Gy.2596

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a feladat állítása 20 pont helyett már 17 pontra is igaz.

 
 

1. ábra
 

Tudjuk, hogy a síkot egybevágó szabályos hatszögekkel hézagtalanul le lehet fedni. Készítsünk egy ilyen lefedést 123 oldalú szabályos hatszögekkel (egy ilyen hatszög méretei az 1. ábrán láthatók), majd a szereplő hatszögek közül válasszunk ki hatot a 2. ábrán látható módon. A, B és C legyen a kiválasztott hatszögeknek az ábrán látható három csúcsa.
 
 

2. ábra
 

A szabályos hatszögek elemi tulajdonságaiból következik, hogy az AB, BC és CA szakaszok a hatszögek csúcsai közül ‐ A-t, B-t és C-t leszámítva ‐ még rendre egyet, hármat, hármat tartalmaznak, továbbá
AB=2⋅12=1,BC=2⋅123+2⋅13=3,ésCA=4⋅12=2.
Tehát ABC egybevágó a feladatban szereplő háromszöggel, így lefedhető a 2. ábrán látható módon 4 hatszöggel és 2 fél-hatszöggel.
Ha az adott pontok közül valamelyik hatszögben 4 vagy annál több van, akkor rajzoljuk meg a hatszög köré írható kört (ennek sugara 123), majd ennek a körnek a 4 pont egyikén átmenő átmérőjét. Az így keletkező két zárt félkörlemez mindegyike tartalmazza a kiválasztott pontot, ezen kívül a két félkör együttesen még legalább 3 pontot tartalmaz az adott pontok közül, ezért valamelyikük legalább 1+2=3 adott pontot tartalmaz. Ha a hatszögek mindegyikében legfeljebb csak 3, a fél-hatszögek ‐ amelyek nyilván lefedhetők egy 123 sugarú zárt félkörlemezzel ‐ mindegyikében pedig legfeljebb 2 adott pont lenne, akkor az összes pontok száma nem lehetne több, mint 4⋅3+2⋅2=16. De nekünk 17 pontunk van, ezért vagy valamelyik hatszögben van legalább 4, vagy valamelyik fél-hatszögben legalább 3 pont, azaz mindig kiválasztható a pontok közül 3, amelyek lefedhetők egy 1/3 átmérőjű zárt félkörlemezzel.
 

Szűts Dávid (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján