Feladat: 1312. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Major Imre ,  Tarsó Béla 
Füzet: 1970/december, 210 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletek, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/május: 1312. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan kétjegyű AB¯ (egész) számot keresünk, melyre alkalmas n mellett

1ABn¯=0,00000AB...
vagyis
107ABn¯=AB¯,...
A bal oldalon álló szám tehát AB¯ és AB¯+1 között van. Jelöljük az AB¯ számot x-szel, ekkor az
x107xn<x+1(1)
egyenlőtlenségnek kell megkeresnünk az olyan megoldásait, amelyekben 10<x99, és x, n természetes számok. (x=10 mellett B=0 volna, amit a feladatunk kizárt.)
Szorozzuk meg (1)-et xn-nel, és helyettesítsük be az x korlátait:
10n+1<xn+1107<xn(x+1)99n100<100n+1=102(n+1).
Így csak olyan n-re van megoldás, amelyre
10n+1<107<102(n+1),n+1<7<2(n+1),2,5<n<6.
(Felhasználtuk, hogy 10n monoton függvénye az n-nek.) Ezek szerint n lehetséges értékei 3, 4, 5 ‐ ezek mellett keresünk x-et.
Szorozzuk (1)-et xn-nel, és vegyük mindkét oldal 10 alapú logaritmusát:
(n+1)lgx7<nlgx+lg(x+1)<(n+1)lg(x+1),(2)lgx7n+1<lg(x+1).


Olyan egész x-eket keresünk, melyekre x és x+1 logaritmusa közrefogja a 7n+1 számokat n=3,4,5 mellett. Ezek az alábbi táblázat alapján:
 

n7n+1lgxxlg(x+1)nlgx+lg(x+1)31,751,7482561,75597,000541,41,3979251,41507,006651,16671,1461141,17616,9066

Meghatároztuk nlgx+lg(x+1) értékét is, hiszen (2) szerint ennek is nagyobbnak kell lennie, mint 7. Az első két esetben ez is teljesül. (Az első esetben felmerül a kérdés, hogy ezt nem csak a kerekítés okozza-e, de lg56>1,7481, lg57>1,7558 miatt 3lg56+lg57>7,0001.) A harmadik esetben nem teljesül, tehát feladatunknak csak két megoldása lehet:
n1=3,A1=5,B1=6;n2=4,A2=2,B2=5.
Valóban,
1563=0,00000569...és1254=0,044=0,28=0,00000256.



Major Imre (Budapest, I. István Gimn., II. o. t. )

Tarsó Béla (Veszprém, Lovassy L. Gimn., II. o. t. )