|
Feladat: |
F.2302 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benke I. , Bognár P. , Breiner L. , Böröczky K. , Csere K. , Csillik Mária , Csörgő T. , Danyi P. , Drávucz Katalin , Feledi Gy. , Fritz P. , Görög I. , Hatt J. , Heckenast L. , Hetyei G. , Hideg Sz. , Holbok I. , Ittzés A. , Kálmán A. , Kapos L. , Károlyi Gy. , Károlyi Gyula , Kerényi I. , Kerner Anna , Magyar Á. , Megyeri L. , Megyesi G. , Mihálykó Cs. , Mohay T. , Nagy R. , Németh L. , Pöltl J. T. , Rónai Z. , Szállási Z. , Száraz S. , Takács J. , Terenyi Z. , Tukora I. , Törécsik J. |
Füzet: |
1981/november,
128 - 130. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat, Vektorok |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/március: F.2302 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Igazoljuk, hogy az alábbi egyenlőtlenség teljesül minden , , valós számra, ahol , és egy háromszög szögei: | | (1) |
I. megoldás. A négyzetre emelés elvégzése, és az összefüggés felhasználása után -ből a vele ekvivalens | | (2) | egyenlőtlenséget kapjuk. Mivel , , egy háromszög szögei, . Legyen a síkon tetszőleges irányú, egységnyi nagyságú vektor, -t szöggel elforgatva kapjuk -et, ebből szöggel való forgatással kapjuk -t. Mivel , -t újabb, szöggel való forgatás visszaviszi -be. Megmutatjuk, hogy bal oldalán az vektor abszolút értékének a négyzete áll, ezzel természetesen -t, és vele együtt -et is bebizonyítjuk.
Válasszuk a koordináta-rendszer origójának a vektorok közös kezdőpontját, és az tengely pozitív irányának irányát. Ekkor abszcisszája ordinátája pedig E kettő négyzetösszege
ami valóban azonos a bal oldalán álló kifejezéssel, hiszen . Károlyi Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) II. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenséget alapján a következő formába írhatjuk: | | Ismeretes, hogy az másodfokú polinom értéke pontosan akkor nem negatív minden értékére, ha diszkriminánsa nem pozitív, azaz ha . Esetünkben ez a helyzet, ugyanis alapján
ahogyan állítottuk. Megjegyzés. Az I. megoldásban kapott összefüggés a koszinusz-tétel általánosítása. Hasonlóan látható be, hogy ha , , , a sík tetszőleges vektorai, akkor | | (3) | ahol a , vektorok közti szög. Akik tudják, hogy a mennyiséget a , vektorok skaláris szorzatának hívják, és azt is tudják, hogy ez a szorzás is kommutatív, és az összeadásra nézve disztributív, ennek alapján is beláthatják a összefüggést. Sokan a skaláris szorzás tulajdonságai alapján igazolták a feladat állítását, ez a megoldás azonban csak formálisan tér el a fenti I. megoldástól. A lényeges ötlet közös a két megoldásban, és ez az, hogy bal oldalán "teljes négyzet'' áll. Mint láttuk, ennek a felismerése nélkül is bizonyítható . Általában kérdezhető, hogy mi annak a szükséges és elegendő feltétele, hogy a | | (4) | egyenlőtlenség tetszőleges , , valós számra teljesüljön. Nyilván szükséges, hogy az | | (5) | egyenlőtlenségek teljesülnek. Ha rajtuk kívül még | | (6) | is teljesül, akkor ez már elégséges is. Esetünkben triviálisan teljesül, belátásához azonban elég sok trigonometrikus átalakításra volna szükség. Aki ismeri a determinánsokat, észreveheti, hogy bal oldalán épp a elemű determináns értéke áll, és a egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a determináns által generált kvadratikus alak pozitív szemidefinit. |
|