Kezdőlap


Feladat:	837. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Gy. , Bagyinszky J. , Bartha Gyöngyi , Bartók K. , Bergmann Gy. , Borsi L. , Brickner L. , Endrődy T. , Frivaldszky S. , Galambos J. , Gyene A. , Győry K. , Hank Zs. , Horváth M. , Jáky Mária , Károlyi Gy. , Király E. , Kiss M. , Kolonits F. , Kristóf L. , Leipniker P. , Licskó L. , Makay A. , Makay Attila , Mályusz K. , Megyeri L. , Meskó A. , Molnár J. , Montvay I. , Móricz F. , Németh J. , Papp K. , Pásztor Erzsébet , Pödör B. , Rockenbauer A. , Sárközy A. , Schipp F. , Simon L. , Solt Gy. , Staar Katalin , Stahl J. , Stark G. , Szász D. , Szatmáry Z. , Timon K. , Tóth Zsuzsanna , Trón T. , Várallyay L. , Veszely Gy. , Wollner R.
Füzet:	1958/február, 53 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Hiperbola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 837. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Feladatunkat koordináta-geometria segítségével oldjuk meg.
Legyen a kúpszelet középponti helyzetű, akkor az egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1. \end{matrix}

(Az egyenlet

a < c

esetén hiperbola,

a > c

esetén ellipszis,

c = 0

esetén pedig kör egyenlete. Kör esetén a fókuszok egy pontba, a kör középpontjába esnek.)
A (

c, 0

) és a (

- c, 0

) fókuszokon átmenő kör (1. ábra) középpontja az

Y

tengelyen van, legyenek koordinátái (

0; v

), így egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - v)}^{2} = v^{2} + c^{2} . \end{matrix}

1. ábra

A csúcsérintők a kört a

\pm a

abszcisszájú, az egyenletből kiszámíthatóan

v \pm \sqrt[]{v^{2} + c^{2} - a^{2}}

ordinátájú pontban metszik. (Ellipszisnél csak akkor van 4 metszéspont, ha

v^{2} + c^{2} > a^{2}

, vagyis a kör sugara nagyobb a nagytengely felénél.) A téglalapátlók az

Y

tengelyt a (

0; v

) pontban metszik és iránytangensük (l. az 1. ábrát)

\pm \frac{\sqrt[]{v^{2} + c^{2} - a^{2}}}{a}

, az egyik átló egyenlete tehát

\begin{matrix} y = \frac{\sqrt[]{v^{2} + c^{2} - a^{2}}}{a} x + v . \end{matrix}

Ezt a kúpszelet egyenletébe helyettesítve:

\begin{matrix} x^{2} (a^{2} - c^{2}) + {(\frac{\sqrt[]{v^{2} + c^{2} - a^{2}}}{a} x + v)}^{2} a^{2} - a^{2} (a^{2} - c^{2}) = 0. \end{matrix}

Ebből

x

-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} v^{2} x^{2} + 2 a v \sqrt[]{v^{2} + c^{2} - a^{2}} x + a^{2} v^{2} - a^{2} (a^{2} - c^{2}) = 0. \end{matrix}

Az egyenlet diszkriminánsa

\begin{matrix} 4 a^{2} v^{2} (v^{2} + c^{2} - a^{2}) - 4 v^{2} (a^{2} v^{2} - a^{4} + a^{2} c^{2}) = 0. \end{matrix}

A kúpszeletnek és az egyenesnek tehát csak egy közös pontja van, vagyis az átló egyben érintő is.
Ugyanígy igazolható állításunk a másik átlóra is (illetőleg a kúpszeletnek és a két átlónak az

Y

tengelyre való szimmetriájából ez már következik is).
A körré fajuló ellipszis esetét belevettük a tárgyalásba. Ezzel tehát az összes lehetséges esetet kimerítettük.

Pásztor Erzsébet (Makó, József A. g. III. o. t.)

II. megoldás: Ismeretes a hiperbolára és ellipszisre érvényes következő tétel: az egyik fókuszpontnak bármely érintőre vonatkozó tükörképe rajt van a másik fókuszból rajzolt,

2 a

sugarú, ún. vezérkörön; és fordítva: az egyik fókusz és a másikból rajzolt vezérkör egy pontja által alkotott szakasz felezőmerőlegese érinti a kúpszeletet. Feladatunk bizonyítására az említett megfordítást fogjuk felhasználni.
Legyenek a csúcsérintők által meghatározott téglalap átlói

M K

, ill.

L N

(2. ábra).

2. ábra

Szimmetria okokból elég pl. az

M K

átlóval foglalkozni. Az

F_{2}

fókusz tükörképe az

M K

átmérőre

F'_{2}

.
a) Hiperbola esetén

M K N ∢ = F'_{2} F_{2} F_{1} ∢

, mert száraik merőlegesek egymásra. Egyenlő szögekhez a körben egyenlő húrok tartoznak, így

\begin{matrix} F_{1} F'_{2} = M N = A_{1} A_{2} (= 2 a) . \end{matrix}

Ezzel bizonyítottuk, hogy

F'_{2}

rajt van az

F_{1}

középpontú,

2 a

sugarú vezérkörön, s így az említett tétel szerint a

K M

átló valóban érintő.
b) Ellipszis esetén nyilván csak akkor kapunk 4 metszéspontot a csúcsérintőkön, ha a kör átmérője nagyobb az ellipszis nagytengelyénél.

3. ábra

Ugyanúgy, mint előbb (3. ábra):

\begin{matrix} M K N ∢ = F'_{2} F_{2} A_{2} ∢ = 180^{\circ} - F'_{2} F_{2} F_{1} ∢, \end{matrix}

s ezért

\begin{matrix} F_{1} F'_{2} = M N = A_{1} A_{2} (= 2 a) . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítást erre az esetre is elvégeztük. A meggondolás érvényes marad arra az esetre is, ha a kör érinti a csúcsérintőket.
Ha az ellipszis éppen kör (fókuszai egybeesnek a középponttal), akkor a második kör érinti a ,,nagytengelyt'' (átmérőt) a középpontban. Ez esetben

F_{1} F_{2}' = O F'_{2} = 2 r

(

r

a kör sugara) adódik, és e szakasz felező merőlegese valóban érinti a kört.

Makay Attila (Bp. IX., Fáy g. III. o. t.)